مقایسه چگالی دو ماده در کره و استوانه

راهنمایی کوتاه: با استفاده از فرمول‌های حجم و جرم، نسبت چگالی‌ها را پیدا می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

1. حجم کره از ماده A: $V_A=\frac{4}{3}\pi R^3$
2. حجم استوانه‌ی توخالی از ماده B: شعاع داخلی = R، شعاع خارجی = R (اما این یعنی استوانه توخالی با ضخامت صفر؟ احتمالاً منظور شعاع داخلی R و شعاع خارجی 2R است. چون سوال می‌گوید «شعاع داخلی R دوم» یعنی R دوم = 2R؟ معمولاً در این سوالات شعاع خارجی 2R در نظر گرفته می‌شود. من فرض می‌کنم شعاع داخلی = R و شعاع خارجی = 2R و ارتفاع = $\frac{2}{3}R$.
3. حجم استوانه توخالی: $V_B=\pi h(R_{outer}^2-R_{inner}^2)=\pi \left(\frac{2}{3}R\right)\left(\right(2R{)}^2-R^2)=\pi (\frac{2}{3}R\left)\right(4R^2-R^2)=\pi (\frac{2}{3}R\left)\right(3R^2)=2\pi R^3$
4. جرم کره: $m_A={\rho }_A{V}_A={\rho }_A\left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)$
5. جرم استوانه: $m_B={\rho }_B{V}_B={\rho }_B\left(2\pi R^3\right)$
6. طبق سوال: جرم کره = ۲ × جرم استوانه → $m_A=2m_B$
7. پس: ${\rho }_A\left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)=2\times {\rho }_B\left(2\pi R^3\right)$
8. ساده‌سازی: ${\rho }_A\times \frac{4}{3}=4{\rho }_B$ → ${\rho }_A=3{\rho }_B$

پاسخ نهایی: چگالی ماده A سه برابر چگالی ماده B است.

مثال مشابه: اگر کره‌ای به شعاع ۲ سانتی‌متر از ماده‌ای داشته باشیم و استوانه‌ای توخالی با شعاع داخلی ۲ و خارجی ۴ سانتی‌متر و ارتفاع ۴/۳ سانتی‌متر از ماده دیگر، و جرم کره دو برابر جرم استوانه باشد، باز هم نسبت چگالی‌ها ۳ به ۱ می‌شود.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی تمرین کنی که اگر ارتفاع استوانه را تغییر دهیم یا نسبت جرم‌ها عوض شود، چگونه نسبت چگالی تغییر می‌کند. همچنین دقت کن که در سوال «شعاع داخلی R دوم» ممکن است به معنای 2R باشد.