مسئله انبساط طولی میله‌ها

راهنمایی کوتاه: برای ثابت ماندن اختلاف طول، انبساط دو میله باید برابر باشد.

گام‌به‌گام:

1. ضریب انبساط خطی آهن ($\alpha \_\mathrm{Fe}$) معمولاً $1.2\times {10}^{-5}$ و نقره ($\alpha \_\mathrm{Ag}$) $1.9\times {10}^{-5}$ بر درجه سلسیوس است.
2. شرط مسأله: اختلاف طول در $0°C$ برابر $4\mathrm{cm}$ و در $60°C$ نیز باید $4\mathrm{cm}$ باشد. یعنی $\Delta L_{\mathrm{Fe}}=\Delta L_{\mathrm{Ag}}$.
3. رابطه انبساط: $\Delta L=\alpha L_0\Delta T$. پس ${\alpha }_{\mathrm{Fe}}{L}_{\mathrm{Fe}0}={\alpha }_{\mathrm{Ag}}{L}_{\mathrm{Ag}0}$.
4. اختلاف طول اولیه: $L_{\mathrm{Fe}0}-L_{\mathrm{Ag}0}=4\mathrm{cm}$ (چون آهن ضریب کمتری دارد، طول اولیه‌اش بیشتر است تا انبساط یکسان شود).
5. جای‌گذاری: $L_{\mathrm{Fe}0}=\frac{{\alpha }_{\mathrm{Ag}}}{{\alpha }_{\mathrm{Fe}}}{L}_{\mathrm{Ag}0}=\frac{19}{12}{L}_{\mathrm{Ag}0}$. بنابراین $\frac{19}{12}{L}_{\mathrm{Ag}0}-L_{\mathrm{Ag}0}=4$.
6. حل: $\frac{7}{12}{L}_{\mathrm{Ag}0}=4$ ⇒ $L_{\mathrm{Ag}0}=\frac{4\times 12}{7}=\frac{48}{7}\mathrm{cm}$ (حدود $6.86\mathrm{cm}$).

پاسخ نهایی: طول میله نقره‌ای در دمای صفر درجه سلسیوس باید $\frac{48}{7}$ سانتی‌متر (حدود 6.86 سانتی‌متر) باشد.

مثال مشابه: دو میله از جنس مس و آلومینیوم داریم که در دمای 0°C اختلاف طول 5 سانتی‌متر دارند. اگر ضریب انبساط مس 1.7×10^{-5} و آلومینیوم 2.3×10^{-5} باشد، طول میله آلومینیوم چند سانتی‌متر باشد تا اختلاف طول در 50°C ثابت بماند؟ (پاسخ: 5×1.7/(2.3-1.7) ≈ 14.17 سانتی‌متر)

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: به مبحث انبساط خطی و حجمی مواد مراجعه کن. ضرایب انبساط مواد مختلف را در کتاب فیزیک یا جداول مرجع ببین.

یادآوری ایمنی: هنگام انجام آزمایش‌های گرم کردن فلزات، از دستکش و عینک ایمنی استفاده کن و از تماس مستقیم با سطوح داغ بپرهیز.