انتگرال نامعین از یک ثابت

راهنمایی کوتاه: این انتگرال، انتگرال یک عدد ثابت (منفی ۳) از صفر تا بینهایت است.

گام‌به‌گام:

1. انتگرال یک عدد ثابت (مثل a) نسبت به x برابر است با ax به اضافه یک ثابت انتگرال (C). یعنی: $\int adx=ax+C$
2. در اینجا عدد ثابت ما a = -3 است. پس داریم: $\int -3dx=-3x+C$
3. اما سوال از ما انتگرال معین (با کران‌های مشخص) خواسته است: از 0 تا ∞ (بینهایت). پس باید از جواب انتگرال نامعین، در این کران‌ها مقداردهی کنیم.
4. برای انتگرال معین ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$، طبق قضیه اساسی حسابان داریم: F(b) - F(a)، که F پادمشتق f است.
5. در اینجا F(x) = -3x است (ثابت C در انتگرال معین حذف می‌شود). پس باید $\underset{b\to \infty }{\lim }\left[F\right(b)-F(0\left)\right]$ را محاسبه کنیم.
6. محاسبه می‌کنیم: $\underset{b\to \infty }{\lim }\left[\right(-3b)-(-3\times 0\left)\right]=\underset{b\to \infty }{\lim }[-3b-0]=\underset{b\to \infty }{\lim }(-3b)$
7. وقتی b به سمت بینهایت برود، مقدار -3b به سمت منفی بینهایت میل می‌کند. بنابراین حد وجود ندارد (واگرا است).

پاسخ نهایی: این انتگرال معین واگرا است و به یک عدد متناهی همگرا نمی‌شود. زیرا وقتی کران بالایی به بینهایت میل کند، مقدار -3x به سمت منفی بینهایت می‌رود.

مثال مشابه: انتگرال ${\int }_1^{\infty }5dx$ نیز واگرا است و به مثبت بینهایت میل می‌کند.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: مفهوم انتگرال‌های نامعین (بدون کران) و معین (با کران) را مقایسه کن. همچنین در مورد انتگرال‌های با کران بینهایت و شرایط همگرایی آنها مطالعه کن. یک انتگرال با کران بینهایت تنها زمانی همگرا است که حد مورد نظر به یک عدد متناهی برسد.