حل مسئله
برای حل این مسئله، ابتدا باید تعداد زیرمجموعههای یک مجموعهی $k-1$ عضوی و یک مجموعهی $k-4$ عضوی را محاسبه کنیم.
تعداد زیرمجموعههای یک مجموعهی $n$ عضوی برابر است با $2^n$.
- تعداد زیرمجموعههای مجموعهی $k-1$ عضوی: $2^{k-1}$
- تعداد زیرمجموعههای مجموعهی $k-4$ عضوی: $2^{k-4}$
طبق مسئله، $2^{k-1} = 2^{k-4} + 14$.
برای حل این معادله، ابتدا $2^{k-1}$ و $2^{k-4}$ را به صورت سادهتر مینویسیم:
- $2^{k-1} = 2^k \times 2^{-1} = \frac{2^k}{2}$
- $2^{k-4} = 2^k \times 2^{-4} = \frac{2^k}{16}$
حال معادله را بر حسب $2^k$ مینویسیم:
با ضرب کردن کل معادله در 16، داریم:
حال $2^k$ را از هر دو طرف کم میکنیم:
با تقسیم هر دو طرف بر 7:
از آنجایی که $32 = 2^5$، پس:
بنابراین، مقدار $k$ برابر 5 است.
