عامل‌گیری عبارت جبری

سلام! می‌بینم که می‌خواهی عبارت $64x^{12}-27x^{18}$ را ساده‌سازی یا عامل‌گیری کنی. این یک تفاضل دو جمله‌ای است که می‌توانیم از فرمول‌های اتحاد استفاده کنیم. بیا با هم حلش کنیم!

راهنمایی کوتاه: این عبارت یک تفاضل دو مکعب است که می‌توان با فرمول $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ آن را عامل‌گیری کرد.

گام‌به‌گام:

• گام ۱: ابتدا عبارت را مرتب می‌کنیم و بزرگترین عامل مشترک را خارج می‌کنیم:
  $64x^{12}-27x^{18}=x^{12}(64-27x^6)$
• گام ۲: حالا عبارت داخل پرانتز را بررسی می‌کنیم. می‌بینیم که $64=4^3$ و $27x^6={\left(3x^2\right)}^3$ است. پس داریم:
  $64-27x^6=4^3-{\left(3x^2\right)}^3$
• گام ۳: از فرمول تفاضل دو مکعب استفاده می‌کنیم. در اینجا $a=4$ و $b=3x^2$ است:
  $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
  $4^3-{\left(3x^2\right)}^3=(4-3x^2)(4^2+4\times 3x^2+{\left(3x^2\right)}^2)$
• گام ۴: حالا عبارت‌های داخل پرانتز دوم را ساده می‌کنیم:
  $(4-3x^2)(16+12x^2+9x^4)$
• گام ۵: حالا همه چیز را کنار هم می‌گذاریم. یادت باشد که از گام ۱ یک $x^{12}$ هم خارج کرده بودیم:

پاسخ نهایی:

$64x^{12}-27x^{18}=x^{12}(4-3x^2)(16+12x^2+9x^4)$

مثال مشابه:

اگر بخواهیم $8y^9-125z^6$ را عامل‌گیری کنیم:
۱. ابتدا $y^3$ را فاکتور می‌گیریم: $y^3(8y^6-125z^6)$
۲. سپس از فرمول تفاضل دو مکعب استفاده می‌کنیم: $8y^6={\left(2y^2\right)}^3$ و $125z^6={\left(5z^2\right)}^3$

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری:

• می‌توانی تمرین کنی که عبارت $27a^6-8b^9$ را عامل‌گیری کنی.
• فرمول‌های دیگر اتحادها مانند مجموع دو مکعب یا اتحاد مربع دو جمله‌ای را هم مرور کن.
• همیشه به دنبال بزرگترین عامل مشترک باش و سپس ببین آیا می‌توانی از اتحادها استفاده کنی.

آفرین! خیلی خوب پیش رفتی. اگر سوال دیگری داری، خوشحال می‌شوم کمک کنم.