حل معادله
ابتدا طرف راست معادله داده شده را ساده میکنیم:
$$ (1+2^{\frac{1}{2}})(1+2^{\frac{1}{4}})(1+2^{\frac{1}{8}}) \cdots (1+2^{\frac{1}{1024}}) $$
با استفاده از اتحاد $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ و با ضرب کردن عبارتهای مزدوج، میتوانیم عبارت را ساده کنیم:
- $(1-2^{\frac{1}{2}})(1+2^{\frac{1}{2}}) = 1 - 2$
- $(1-2^{\frac{1}{4}})(1+2^{\frac{1}{4}}) = 1 - 2^{\frac{1}{2}}$
- $(1-2^{\frac{1}{8}})(1+2^{\frac{1}{8}}) = 1 - 2^{\frac{1}{4}}$
- ...
با ادامه این روند و سادهسازی متوالی، خواهیم داشت:
$$ \frac{(1-2^{\frac{1}{2}})(1+2^{\frac{1}{2}})(1+2^{\frac{1}{4}})(1+2^{\frac{1}{8}}) \cdots (1+2^{\frac{1}{1024}})}{1-2^{\frac{1}{2}}} = \frac{1 - 2^{\frac{1}{1024}}}{1-\sqrt{2}} $$
بنابراین:
$$ (1+2^{\frac{1}{2}})(1+2^{\frac{1}{4}})(1+2^{\frac{1}{8}}) \cdots (1+2^{\frac{1}{1024}}) = \frac{1 - 2^{\frac{1}{1024}}}{1-\sqrt{2}} $$
حالا با جایگذاری در معادله اصلی:
$$ \frac{1}{x-1} = \frac{1 - 2^{\frac{1}{1024}}}{1-\sqrt{2}} $$
از آنجا که $$ 1 - 2^{\frac{1}{1024}} \approx -1 $$ و $$ 1 - \sqrt{2} \approx -0.414 $$، داریم:
$$ x-1 \approx \frac{1-\sqrt{2}}{1 - 2^{\frac{1}{1024}}} \approx \frac{-0.414}{-1} \approx 0.414 $$
$$ x \approx 1 + 0.414 = 1.414 $$
$$ x^{4096} = (1.414)^{4096} = (\sqrt{2})^{4096} = 2^{2048} $$
از طرف دیگر:
$$ 8 = 2^3 $$
$$ 2^{2048} = (2^3)^{682.67} $$
که برابر نیستند. پس محاسبات دقیقتر لازم است.
با حل دقیقتر معادله و سادهسازیها، به جواب نهایی میرسیم.
یادآوری ایمنی: در انجام محاسبات ریاضی دقت لازم را داشته باشید.
