محاسبه عبارت توانی با رادیکال

دهم ریاضی 1

$\left(2-\sqrt3\right)^{5+2\sqrt{3^{}}}\left(7+4\sqrt3\right)^{\frac{1}{2-\sqrt3}}$

کاربر مهمان

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

راهنمایی کوتاه: برای حل این عبارت، ابتدا باید اعداد داخل پرانتزها را ساده‌سازی کنیم.

گام‌به‌گام:

ابتدا به عبارت $7 + 4 \sqrt{3}$ توجه می‌کنیم. می‌توان آن را به صورت مربع کامل نوشت: ${(2 + \sqrt{3})}^{2} = 4 + 4 \sqrt{3} + 3 = 7 + 4 \sqrt{3}$ .
پس $7 + 4 \sqrt{3} = {(2 + \sqrt{3})}^{2}$ .
حالا عبارت دوم را بازنویسی می‌کنیم: ${(7 + 4 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2 - \sqrt{3}}} = {({(2 + \sqrt{3})}^{2})}^{\frac{1}{2 - \sqrt{3}}} = {(2 + \sqrt{3})}^{\frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$ .
حالا به عبارت اول نگاه می‌کنیم: $(2 - \sqrt{3})$ . می‌دانیم که $(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$ ، پس $2 - \sqrt{3} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ .
بنابراین عبارت اول می‌شود: ${(\frac{1}{2 + \sqrt{3}})}^{5 + 2 \sqrt{3}} = {(2 + \sqrt{3})}^{- (5 + 2 \sqrt{3})}$ .
حالا هر دو عبارت را در هم ضرب می‌کنیم: ${(2 + \sqrt{3})}^{- (5 + 2 \sqrt{3})} \times {(2 + \sqrt{3})}^{\frac{2}{2 - \sqrt{3}}} = {(2 + \sqrt{3})}^{\frac{2}{2 - \sqrt{3}} - (5 + 2 \sqrt{3})}$ .
حالا باید توان را ساده کنیم. ابتدا $\frac{2}{2 - \sqrt{3}}$ را گویا می‌کنیم: $\frac{2}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4 - 3} = 4 + 2 \sqrt{3}$ .
پس توان برابر است با: $(4 + 2 \sqrt{3}) - (5 + 2 \sqrt{3}) = 4 + 2 \sqrt{3} - 5 - 2 \sqrt{3} = - 1$ .
بنابراین عبارت اصلی برابر است با: ${(2 + \sqrt{3})}^{- 1} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ .
برای ساده‌تر کردن، دوباره گویا می‌کنیم: $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$ .

پاسخ نهایی:

$2 - \sqrt{3}$

مثال مشابه:

اگر بخواهیم ${(3 - 2 \sqrt{2})}^{4 + 2 \sqrt{2}} {(17 + 12 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}}}$ را محاسبه کنیم، روش مشابهی را دنبال می‌کنیم: ابتدا $17 + 12 \sqrt{2} = {(3 + 2 \sqrt{2})}^{2}$ و $3 - 2 \sqrt{2} = \frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}}$ ، سپس توان‌ها را جمع می‌کنیم.