تجزیه عبارت جبری با اتحاد

دهم ریاضی 1

$64x^{12}-27x^{18}=$ با استفاده از تجزیه حاصل عبارت را به دست آورید

کاربر مهمان

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

سلام! خیلی خوبه که می‌خواهی با استفاده از تجزیه، این عبارت جبری را ساده‌سازی کنی. بیا با هم قدم‌به‌قدم جلو بریم.

راهنمایی کوتاه: این عبارت شبیه یک اتحاد معروف است. باید آن را تشخیص دهیم.

گام‌به‌گام:

گام ۱: نگاه دقیق به عبارت
عبارت ما این است: $64 x^{12} - 27 x^{18}$ . به اعداد ۶۴ و ۲۷ و توان‌های x دقت کن.
گام ۲: نوشتن اعداد به صورت توان سوم
می‌دانیم که $64 = 4^{3}$ و $27 = 3^{3}$ . همچنین می‌توانیم توان‌های x را هم به صورت توان سوم بنویسیم:
$x^{12} = {(x^{4})}^{3}$ و $x^{18} = {(x^{6})}^{3}$ .
گام ۳: تشخیص اتحاد
حالا عبارت را دوباره می‌نویسیم:
$4^{3} \cdot {(x^{4})}^{3} - 3^{3} \cdot {(x^{6})}^{3}$
این دقیقاً شبیه الگوی اتحاد مکعب تفاضل است: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ .
در اینجا: $a = 4 x^{4}$ و $b = 3 x^{6}$ .
گام ۴: اعمال اتحاد
طبق فرمول داریم:
$(a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$
پس جایگذاری می‌کنیم:
$(4 x^{4} - 3 x^{6}) ({(4 x^{4})}^{2} + (4 x^{4}) (3 x^{6}) + {(3 x^{6})}^{2})$
گام ۵: ساده‌سازی عبارت داخل پرانتز دوم
هر قسمت را محاسبه می‌کنیم:
• ${(4 x^{4})}^{2} = 16 x^{8}$
• $(4 x^{4}) (3 x^{6}) = 12 x^{4 + 6} = 12 x^{10}$
• ${(3 x^{6})}^{2} = 9 x^{12}$
پس پرانتز دوم می‌شود: $16 x^{8} + 12 x^{10} + 9 x^{12}$
گام ۶: نوشتن پاسخ نهایی
حالا هر دو بخش را کنار هم می‌نویسیم. همچنین می‌توانیم از پرانتز اول فاکتورگیری ساده‌تری هم انجام دهیم. دقت کن که در پرانتز اول هر دو جمله $x^{4}$ مشترک دارند.

پاسخ نهایی:

$64 x^{12} - 27 x^{18} = x^{4} (4 - 3 x^{2}) (16 x^{8} + 12 x^{10} + 9 x^{12})$

مثال مشابه:
اگر $8 y^{9} - 125 z^{6}$ را داشته باشیم، می‌توانیم بنویسیم:
$= {(2 y^{3})}^{3} - {(5 z^{2})}^{3}$ و سپس از همان اتحاد استفاده کنیم.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری:
می‌توانی روی اتحادهای دیگر مثل اتحاد مکعب مجموع ( $a^{3} + b^{3}$ ) یا اتحاد مزدوج تمرین کنی. تشخیص الگو در اعداد (مثل توان سوم بودن) خیلی کمک می‌کند.