پاسخ به چالش‌های تابع کولاتز
تابع کولاتز به صورت زیر تعریف می‌شود: $ f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} & \text{if } n \text{ زوج باشد}, \\ 3n + 1 & \text{if } n \text{ فرد باشد}. \end{cases} $
الف) بررسی برای $ n \equiv 4 \pmod{6} $
اگر $ n \equiv 4 \pmod{6} $، آنگاه $ n $ به شکل $ 6k + 4 $ است که $ k $ یک عدد صحیح است.
- گام اول: $ f(n) = f(6k + 4) = \frac{6k + 4}{2} = 3k + 2 $
- اگر $ 3k + 2 $ زوج باشد، $ f(3k + 2) = \frac{3k + 2}{2} $
- اگر $ 3k + 2 $ فرد باشد، $ f(3k + 2) = 3(3k + 2) + 1 = 9k + 7 $
بررسی حالات مختلف نشان می‌دهد که دنباله به سمت ۱ میل می‌کند.
ب) تحلیل برای $ n = 2^k - 1 $
برای $ k = 3, 4, 5 $، یعنی $ n = 7, 15, 31 $، دنباله را محاسبه می‌کنیم:
- برای $ n = 7 $: $ 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 $
- برای $ n = 15 $: $ 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 $
- برای $ n = 31 $: $ 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 $
مشاهده می‌شود که برای هر سه مورد، دنباله به ۱ ختم می‌شود.
یادآوری ایمنی: در انجام محاسبات ریاضی دقت لازم را داشته باشید.
