راهنمایی کوتاه: برای اثبات این رابطه، باید نشان دهیم هر عضوی که در اشتراک A و C باشد، حتماً در اجتماع B و D هم هست.
گامبهگام:
- فرض مسئله: A ⊆ B و C ⊆ D. یعنی هر عضو A در B است و هر عضو C در D است.
- میخواهیم ثابت کنیم: A ∩ C ⊆ B ∪ D.
- برای اثبات، یک عضو دلخواه x را در نظر میگیریم که x ∈ A ∩ C.
- اگر x ∈ A ∩ C باشد، پس x ∈ A و x ∈ C.
- از فرض A ⊆ B میدانیم x ∈ A ⇒ x ∈ B.
- از فرض C ⊆ D میدانیم x ∈ C ⇒ x ∈ D.
- حالا x ∈ B یا x ∈ D (در واقع هر دو درست است، اما برای اجتماع کافی است حداقل یکی درست باشد).
- پس x ∈ B ∪ D.
- چون x یک عضو دلخواه از A ∩ C بود، نتیجه میگیریم هر عضوی از A ∩ C در B ∪ D است.
- بنابراین A ∩ C ⊆ B ∪ D.
پاسخ نهایی: با استفاده از تعریف زیرمجموعه و ویژگیهای اشتراک و اجتماع، ثابت کردیم که اگر A زیرمجموعه B و C زیرمجموعه D باشد، آنگاه A ∩ C زیرمجموعه B ∪ D است.
مثال مشابه: فرض کنید U = {1,2,3,4,5,6,7,8}، A = {1,2}، B = {1,2,3,4}، C = {2,5}، D = {2,5,6,7}. میبینیم A ⊆ B و C ⊆ D. حالا A ∩ C = {2} و B ∪ D = {1,2,3,4,5,6,7}. واضح است که {2} ⊆ {1,2,3,4,5,6,7}.
اگر میخواهی بیشتر یاد بگیری: میتوانی رابطههای مشابه مانند (A ∪ C) ⊆ (B ∪ D) را هم بررسی کنی یا با نمودار ون این روابط را نمایش دهی.
