راهنمایی کوتاه: برای اثبات این رابطه، باید نشان دهیم هر عضوی که در اجتماع A و C باشد، حتماً در اجتماع B و D هم هست.
گامبهگام:
- ۱) فرض میکنیم A زیرمجموعه B است (A ⊆ B) و C زیرمجموعه D است (C ⊆ D).
- ۲) میخواهیم ثابت کنیم A ∪ C ⊆ B ∪ D. یعنی هر عضوی که در A ∪ C باشد، در B ∪ D هم باشد.
- ۳) یک عضو دلخواه x را در نظر بگیرید که x ∈ A ∪ C.
- ۴) طبق تعریف اجتماع، x ∈ A یا x ∈ C (یا هر دو).
- ۵) اگر x ∈ A، چون A ⊆ B، پس x ∈ B. بنابراین x ∈ B ∪ D.
- ۶) اگر x ∈ C، چون C ⊆ D، پس x ∈ D. بنابراین x ∈ B ∪ D.
- ۷) در هر دو حالت، x ∈ B ∪ D. پس هر x که در A ∪ C باشد، در B ∪ D هم هست.
پاسخ نهایی: با توجه به گامهای بالا، ثابت شد که اگر A ⊆ B و C ⊆ D، آنگاه A ∪ C ⊆ B ∪ D.
مثال مشابه: فرض کنید A = {1,2}، B = {1,2,3}، C = {3,4}، D = {3,4,5}. میبینیم A ⊆ B و C ⊆ D. حال A ∪ C = {1,2,3,4} و B ∪ D = {1,2,3,4,5}. واضح است که {1,2,3,4} زیرمجموعه {1,2,3,4,5} است.
اگر میخواهی بیشتر یاد بگیری: میتوانی رابطه مشابهی را برای اشتراک مجموعهها بررسی کنی: اگر A ⊆ B و C ⊆ D، آیا A ∩ C ⊆ B ∩ D؟ سعی کن آن را ثابت یا رد کنی!
