یافتن x و y از برابری ماتریس‌ها

سلام! سوال خوبی پرسیدی. این یک مسئله از جبر خطی است که در آن دو ماتریس با هم برابر هستند و باید مقادیر مجهولات را پیدا کنیم.

راهنمایی کوتاه: وقتی دو ماتریس با هم برابر باشند، هر عنصر متناظر در آنها باید برابر باشد.

گام‌به‌گام:

• ۱) ابتدا ماتریس‌ها را به صورت واضح بنویسیم:
  A = $\left(\begin{array}{cc}2& x+2y\\ 4& \end{array}\right)$
  B = $\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ x-y& \end{array}\right)$
• ۲) چون A = B، پس عناصر متناظر برابرند:
  عنصر سطر 1 ستون 1: 2 = 4؟ این درست نیست! احتمالاً ماتریس‌ها را اشتباه نوشته‌ای. بیا فرض کنیم ماتریس‌ها اینگونه هستند:
  A = $\left(\begin{array}{cc}2& x+2y\\ 4& a\end{array}\right)$
  B = $\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ x-y& b\end{array}\right)$
  که a و b مقادیر نامشخص هستند.
• ۳) از عناصر معلوم معادله می‌سازیم:
  از سطر 1 ستون 1: 2 = 4 (این غلط است!)
  پس شاید ماتریس‌ها را باید جور دیگری تفسیر کرد. اگر فرض کنیم سوال این است:
  A = $\left(\begin{array}{cc}2& x+2y\\ 4& ?\end{array}\right)$ و B = $\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ x-y& ?\end{array}\right)$
• ۴) بیا از قسمت‌های مشخص استفاده کنیم:
  اگر فقط عناصر داده شده را در نظر بگیریم، دو معادله داریم:
  معادله 1: $x+2y=5$
  معادله 2: $4=x-y$ یا $x-y=4$
• ۵) حالا دستگاه معادلات را حل می‌کنیم:
  $x+2y=5$
  $x-y=4$
  معادله دوم را از اولی کم می‌کنیم:
  $(x+2y)-(x-y)=5-4$
  $3y=1$
  $y=\frac{1}{3}$
• ۶) مقدار y را در یکی از معادلات جایگزین می‌کنیم:
  $x-\frac{1}{3}=4$
  $x=4+\frac{1}{3}=\frac{12}{3}+\frac{1}{3}=\frac{13}{3}$

پاسخ نهایی:

$x=\frac{13}{3}$ و $y=\frac{1}{3}$

مثال مشابه:

اگر داشته باشیم:
C = $\left(\begin{array}{cc}3& a+b\\ 2& 7\end{array}\right)$ و D = $\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ a-b& 7\end{array}\right)$
و C = D، آنگاه:
3 = 5 (این غلط است، پس چنین برابری ممکن نیست مگر اینکه ماتریس‌ها را درست تعریف کنیم).

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری:

۱) مفهوم برابری ماتریس‌ها را مرور کن: دو ماتریس وقتی برابرند که هم‌بعد باشند و تمام عناصر متناظر برابر باشند.
۲) حل دستگاه معادلات خطی را تمرین کن.
۳) در نوشتن ماتریس‌ها دقت کن تا همه عناصر مشخص باشند.

یادآوری: لطفاً در دفعه بعدی که سوالی درباره ماتریس می‌پرسی، تمام عناصر ماتریس را به وضوح بنویس تا بتوانم پاسخ دقیق‌تری بدهم.