قانون دمورگان در منطق و مجموعه‌ها

راهنمایی کوتاه: قانون دمورگان رابطه‌ای بین عملگرهای نقیض (NOT)، اجتماع (OR) و اشتراک (AND) در منطق و نظریه مجموعه‌ها بیان می‌کند.

گام‌به‌گام:

• ۱) در منطق گزاره‌ها، دو قانون اصلی دمورگان وجود دارد:
• ۲) قانون اول: نقیض یک «یا» (OR) برابر است با «و» (AND) نقیض‌ها.
  $\neg (P\vee Q)\equiv (\neg P)\wedge (\neg Q)$
• ۳) قانون دوم: نقیض یک «و» (AND) برابر است با «یا» (OR) نقیض‌ها.
  $\neg (P\wedge Q)\equiv (\neg P)\vee (\neg Q)$
• ۴) در نظریه مجموعه‌ها، این قوانین به صورت زیر بیان می‌شوند:
  متمم اجتماع دو مجموعه برابر است با اشتراک متمم‌های آن‌ها:
  ${(A\cup B)}^c=A^c\cap B^c$
  متمم اشتراک دو مجموعه برابر است با اجتماع متمم‌های آن‌ها:
  ${(A\cap B)}^c=A^c\cup B^c$
• ۵) این قوانین برای هر تعداد گزاره یا مجموعه نیز قابل تعمیم هستند.

پاسخ نهایی: قانون دمورگان دو رابطه معادل مهم بین عملگرهای منطقی نقیض، اجتماع و اشتراک ارائه می‌دهد که در منطق گزاره‌ها و نظریه مجموعه‌ها کاربرد فراوانی دارد.

مثال مشابه: فرض کنید P: «امروز باران می‌بارد» و Q: «من چتر دارم».
¬(P ∨ Q) یعنی «امروز نه باران می‌بارد و نه من چتر دارم».
این معادل است با (¬P) ∧ (¬Q) یعنی «امروز باران نمی‌بارد و من چتر ندارم».

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی با رسم نمودار ون برای دو مجموعه A و B، درستی روابط مجموعه‌ای دمورگان را بررسی کنی. همچنین می‌توانی جدول ارزش برای گزاره‌های منطقی رسم کنی تا معادل بودن دو طرف قانون را تأیید کنی.