اثبات فرمول مجموع n جمله اول دنباله هندسی
برای اثبات فرمول مجموع n جمله اول دنباله هندسی، ابتدا یک دنباله هندسی با قدر نسبت r و جمله اول a را در نظر میگیریم. مجموع n جمله اول این دنباله را S_n مینامیم.
S_n = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)
حال، دو طرف این معادله را در r ضرب میکنیم:
rS_n = ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) + ar^n
اکنون، معادله اول را از معادله دوم کم میکنیم:
S_n - rS_n = a - ar^n
عبارتهای مشابه را ساده میکنیم:
S_n(1 - r) = a(1 - r^n)
و در نهایت، S_n را به دست میآوریم:
S_n = a(1 - r^n) / (1 - r)
این فرمول برای r ≠ 1 برقرار است.
یادآوری ایمنی: در استفاده از این فرمول دقت کنید که r نباید برابر ۱ باشد.
