تعیین مختصات قرینه نقطه نسبت به خط

راهنمایی کوتاه: برای پیدا کردن قرینه نقطه نسبت به خط، ابتدا معادله خط عمود بر خط داده‌شده را که از نقطه می‌گذرد، پیدا می‌کنیم، سپس نقطه تقاطع را یافته و از آن برای محاسبه قرینه استفاده می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) ابتدا معادله خط داده‌شده را به فرم استاندارد می‌نویسیم: $2x+5y=18$ (با توجه به متن سوال، احتمالاً منظور $2x+5y=18$ است).
• ۲) شیب خط داده‌شده را محاسبه می‌کنیم: $m=-\frac{2}{5}$ (از فرم $Ax+By=C$ شیب برابر $-\frac{A}{B}$ است).
• ۳) شیب خط عمود بر آن برابر معکوس قرینه است: $m_{\perp }=\frac{5}{2}$.
• ۴) معادله خط عمود که از نقطه $A(2,3)$ می‌گذرد را می‌نویسیم: $y-3=\frac{5}{2}(x-2)$.
• ۵) این معادله را ساده می‌کنیم: $2y-6=5x-10$ → $5x-2y=4$.
• ۶) دستگاه معادلات خط اصلی و خط عمود را حل می‌کنیم تا نقطه تقاطع $M$ را بیابیم:
  $2x+5y=18$
  $5x-2y=4$.
  با حل دستگاه (مثلاً با روش حذفی یا جایگزینی) به $x=2$ و $y=2.8$ می‌رسیم. پس $M=(2,2.8)$.
• ۷) نقطه $M$ وسط پاره‌خط $AA\text{'}$ است (که $A\text{'}$ قرینه نقطه $A$ است). بنابراین:
  $\frac{2+x_{A\text{'}}}{2}=2$ → $x_{A\text{'}}=2$
  $\frac{3+y_{A\text{'}}}{2}=2.8$ → $y_{A\text{'}}=2.6$.

پاسخ نهایی: مختصات قرینه نقطه $A=(2,3)$ نسبت به خط $2x+5y=18$ برابر است با $A\text{'}=(2,2.6)$.

مثال مشابه: اگر نقطه $B=(1,1)$ و خط $x+y=4$ را داشته باشیم، قرینه نقطه $B$ نسبت به این خط را می‌توان با همین روش محاسبه کرد.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی تمرین کنی که قرینه نقطه $(0,0)$ را نسبت به خط $y=2x$ پیدا کنی. همچنین مفهوم تقارن در هندسه تحلیلی را مرور کن.