رسم نمودار تابع درجه چهارم

یازدهم ریاضی 2 (رشته تجربی)

شکل را رسم کنید با ضابطه $f\left(x\right)=x^2\left(x-1\right)^{^2}$

کاربر مهمان

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

راهنمایی کوتاه: برای رسم این نمودار، ابتدا باید ویژگی‌های مهم تابع را پیدا کنیم.

گام‌به‌گام:

۱) ابتدا تابع را ساده می‌کنیم: $f (x) = x^{2} {(x - 1)}^{2}$
۲) ریشه‌های تابع را پیدا می‌کنیم: $x^{2} = 0$ و ${(x - 1)}^{2} = 0$ پس ریشه‌ها $x = 0$ و $x = 1$ هستند.
۳) مشتق اول را محاسبه می‌کنیم تا نقاط بحرانی را بیابیم: $f^{'} (x) = 2 x {(x - 1)}^{2} + 2 x^{2} (x - 1) = 2 x (x - 1) (2 x - 1)$
۴) نقاط بحرانی: $x = 0$ ، $x = 0.5$ ، $x = 1$
۵) علامت مشتق اول را بررسی می‌کنیم تا بازه‌های صعودی و نزولی را بیابیم.
۶) چند نقطه نمونه محاسبه می‌کنیم و نمودار را رسم می‌کنیم.

پاسخ نهایی: نمودار این تابع یک منحنی درجه چهارم است که در نقاط $x = 0$ و $x = 1$ محور x را قطع می‌کند (هر دو ریشه مضاعف هستند). نمودار در $x = 0.5$ یک نقطه مینیمم نسبی دارد و در هر دو ریشه فقط مماس بر محور x است (نقاط عطف). شکل کلی شبیه یک "کاسه" باز به سمت بالا است.

مثال مشابه: تابع $g (x) = x^{2} {(x + 2)}^{2}$ را در نظر بگیرید. ریشه‌های آن $x = 0$ و $x = - 2$ هستند و نمودار آن نیز ویژگی‌های مشابهی دارد.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی با استفاده از نرم‌افزارهای ریاضی مثل GeoGebra یا Desmos تابع را رسم کنی و نتیجه را با محاسبات خودت مقایسه کنی. همچنین می‌توانی مشتق دوم را محاسبه کنی تا نقاط عطف را دقیق‌تر بررسی کنی.