محاسبه اختلاف ریشه‌های معادله درجه دوم

راهنمایی کوتاه: با استفاده از روابط بین ضرایب و ریشه‌ها، مقدار a را پیدا کن و سپس اختلاف ریشه‌ها را محاسبه کن.

گام‌به‌گام:

• ۱) معادله داده شده: ax² − 2(a+2)x − 3 = 0. فرض می‌کنیم ریشه‌ها r₁ و r₂ هستند.
• ۲) از روابط بین ضرایب و ریشه‌ها (فرمول‌های ویتا) داریم:
  حاصل جمع ریشه‌ها: S = r₁ + r₂ = 2(a+2)/a
  حاصل ضرب ریشه‌ها: P = r₁ × r₂ = -3/a
• ۳) طبق صورت مسئله: حاصل ضرب ریشه‌ها از حاصل جمع ریشه‌ها ۲۱ واحد بیشتر است. یعنی:
  P = S + 21
  ⇒ -3/a = [2(a+2)/a] + 21
• ۴) دو طرف معادله را در a ضرب می‌کنیم (با فرض a ≠ 0):
  -3 = 2(a+2) + 21a
  ⇒ -3 = 2a + 4 + 21a
  ⇒ -3 = 23a + 4
  ⇒ 23a = -7
  ⇒ a = -7/23
• ۵) حالا اختلاف ریشه‌ها را محاسبه می‌کنیم. می‌دانیم:
  (r₁ − r₂)² = (r₁ + r₂)² − 4r₁r₂ = S² − 4P
• ۶) مقادیر S و P را جایگذاری می‌کنیم:
  S = 2(a+2)/a = 2((-7/23)+2) / (-7/23) = 2((39/23)) / (-7/23) = (78/23) × (-23/7) = -78/7
  P = -3/a = -3 / (-7/23) = 3 × (23/7) = 69/7
  بنابراین:
  (r₁ − r₂)² = (-78/7)² − 4×(69/7) = (6084/49) − (276/7) = (6084/49) − (1932/49) = 4152/49
• ۷) در نتیجه اختلاف ریشه‌ها (که مقدار مثبت آن مدنظر است):
  |r₁ − r₂| = √(4152/49) = √4152 / 7
• ۸) عدد 4152 را تجزیه می‌کنیم: 4152 = 4 × 1038 = 4 × 2 × 519 = 8 × 3 × 173 = 24 × 173. پس:
  √4152 = √(4 × 1038) = 2√1038 = 2√(6 × 173) = 2√(6×173)
  در نهایت: |r₁ − r₂| = (2√(6×173)) / 7 = (2√1038)/7

پاسخ نهایی: اختلاف میان دو ریشه معادله برابر است با $\frac{2\sqrt{1038}}{7}$ یا به صورت ساده‌تر $\frac{2\sqrt{6\times 173}}{7}$.

مثال مشابه: اگر در معادله 2x² − 5x + 1 = 0 باشیم، اختلاف ریشه‌ها چقدر است؟ ابتدا S=5/2 و P=1/2 را محاسبه کرده، سپس (r₁−r₂)² = (5/2)² − 4×(1/2) = 25/4 − 2 = 17/4، پس اختلاف = √17 / 2.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: روابط ویتا فقط برای معادلات درجه دوم کاربرد دارد. برای معادلات درجه بالاتر هم روابط مشابهی وجود دارد. همچنین می‌توانی تمرین کنی که اگر حاصل ضرب ریشه‌ها از حاصل جمع آن‌ها k واحد بیشتر باشد، چگونه a را برحسب k پیدا کنیم.