معادله حرکت هماهنگ ساده از داده‌ها

راهنمایی کوتاه: با استفاده از دامنه و زمان حرکت از انتها به مرکز، معادله حرکت را می‌نویسیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) طول پاره‌خط نوسان برابر ۴۰ سانتی‌متر است. دامنه حرکت (A) نصف این مقدار است، زیرا نوسانگر از یک انتها به انتهای دیگر حرکت می‌کند. پس:
  $A=\frac{40}{2}=20cm=0.2m$
• ۲) حداقل زمان برای رسیدن از انتهای پاره‌خط به وضع تعادل (مرکز) برابر ۰/۲ ثانیه است. در حرکت هماهنگ ساده، این مسافت یک‌چهارم دوره تناوب (T) است. زیرا از انتها (حداکثر جابجایی) به مرکز (جابجایی صفر) می‌رود که معادل یک‌چهارم یک نوسان کامل است. پس:
  $\frac{T}{4}=0.2s$
• ۳) از رابطه بالا دوره تناوب (T) را محاسبه می‌کنیم:
  $T=4\times 0.2=0.8s$
• ۴) فرکانس زاویه‌ای (ω) از رابطه $\omega =\frac{2\pi }{T}$ به دست می‌آید:
  $\omega =\frac{2\pi }{0.8}=\frac{5\pi }{2}rad/s$
• ۵) معادله کلی مکان-زمان در حرکت هماهنگ ساده به صورت $x\left(t\right)=A\sin (\omega t+\phi )$ یا $x\left(t\right)=A\cos (\omega t+\phi )$ است. باید فاز اولیه (φ) را تعیین کنیم.
• ۶) شرط مسئله: در زمان t=0 نوسانگر در یک انتهای پاره‌خط است (یعنی x = +A یا x = -A). اگر فرض کنیم در t=0 در x = +A باشد، و معادله را به صورت کسینوسی بنویسیم:
  $x\left(0\right)=A\cos \left(\phi \right)=A$
  پس $\cos \left(\phi \right)=1$ که می‌شود φ = 0.
• ۷) با جایگذاری مقادیر A، ω و φ در معادله کسینوسی به واحد SI می‌رسیم:
  $x\left(t\right)=0.2\cos \left(\frac{5\pi }{2}t\right)m$

پاسخ نهایی:
معادله مکان-زمان نوسانگر در SI به صورت زیر است:
$x\left(t\right)=0.2\cos \left(\frac{5\pi }{2}t\right)$ متر.

مثال مشابه:
اگر طول پاره‌خط نوسان ۶۰ سانتی‌متر و زمان حرکت از انتها به مرکز ۰/۳ ثانیه بود، آنگاه A=0.3m و T=1.2s و ω=5π/3 rad/s می‌شد. معادله می‌شد: $x\left(t\right)=0.3\cos \left(\frac{5\pi }{3}t\right)$.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری:
می‌توانی رابطه بین دوره تناوب و فرکانس زاویه‌ای را مرور کنی. همچنین، ببین اگر در t=0 نوسانگر در انتهای منفی بود (x = -A)، معادله چگونه تغییر می‌کرد؟ (پاسخ: فاز اولیه π می‌شد).