محاسبه c برای مماس خارجی دو دایره

دوازدهم هندسه 3

دو دایره $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 4 = 0$ و $x^2 + y^2 - 2x + 6y + c = 0$ مماس خارج اند. مقادیر $c$ را به دست آورید.

کاربر مهمان

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

سلام! سوال خوبی پرسیدی. این یک مسئله هندسه تحلیلی درباره دو دایره مماس خارج است. بیا با هم حلش کنیم.

راهنمایی کوتاه: برای مماس خارج بودن دو دایره، فاصله مراکز باید برابر مجموع شعاع‌ها باشد.

گام‌به‌گام:

۱) ابتدا معادله دایره اول را به فرم استاندارد می‌بریم:
$x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 4 = 0$
با کامل کردن مربع:
$(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$
پس مرکز $C_{1} = (- 1, 2)$ و شعاع $r_{1} = 1$
۲) معادله دایره دوم را هم به فرم استاندارد می‌بریم:
$x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y + c = 0$
با کامل کردن مربع:
$(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 10 - c$
پس مرکز $C_{2} = (1, - 3)$ و شعاع $r_{2} = \sqrt{10 - c}$ (با شرط $10 - c > 0$ )
۳) فاصله مراکز را محاسبه می‌کنیم:
$d = \sqrt{(1 - (- 1))^{2} + (- 3 - 2)^{2}} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$
۴) شرط مماس خارج: فاصله مراکز = مجموع شعاع‌ها
$\sqrt{29} = 1 + \sqrt{10 - c}$
۵) معادله را حل می‌کنیم:
$\sqrt{10 - c} = \sqrt{29} - 1$
دو طرف را مربع می‌کنیم:
$10 - c = (\sqrt{29} - 1)^{2} = 29 - 2 \sqrt{29} + 1 = 30 - 2 \sqrt{29}$
۶) مقدار c را پیدا می‌کنیم:
$c = 10 - (30 - 2 \sqrt{29}) = 2 \sqrt{29} - 20$

پاسخ نهایی:

$c = 2 \sqrt{29} - 20$

مثال مشابه: اگر دو دایره $x^{2} + y^{2} = 9$ و $x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + k = 0$ مماس خارج باشند، k چقدر است؟ (تمرین کن!)

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی شرایط مماس داخلی دو دایره را هم بررسی کنی (فاصله مراکز = قدرمطلق تفاضل شعاع‌ها). همچنین می‌توانی حالت‌های مختلف تقاطع دو دایره را مطالعه کنی.