جواب کلی معادله مثلثاتی

برای حل این معادله، ابتدا از فرمول سینوس زاویه سه برابر استفاده می‌کنیم: $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$. با جایگذاری این فرمول در معادله اصلی، داریم:

$\frac{3\sin x-4{\sin }^{3}x}{\sin x}=2{\cos }^{2}x$

با ساده‌سازی، به دست می‌آوریم:

$3-4{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x$

از آنجا که ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$، می‌توانیم معادله را به صورت زیر ساده کنیم:

$3-4\left(1-{\cos }^{2}x\right)=2{\cos }^{2}x$

که به معادله درجه دوم بر حسب ${\cos }^{2}x$ تبدیل می‌شود:

$6{\cos }^{2}x-4=2{\cos }^{2}x$

یا

$4{\cos }^{2}x=4$

بنابراین، ${\cos }^{2}x=1$ و در نتیجه $\cos x=\mp 1$.

جواب کلی این معادله $x=k\pi$ است که $k$ عددی صحیح است.

راهنمایی کوتاه: از فرمول سینوس زاویه سه برابر استفاده کنید و معادله را ساده کنید.

گام‌به‌گام:

• ۱) استفاده از فرمول سینوس زاویه سه برابر
• ۲) ساده‌سازی معادله
• ۳) تبدیل به معادله درجه دوم بر حسب ${\cos }^{2}x$
• ۴) حل معادله درجه دوم
• ۵) یافتن جواب کلی

پاسخ نهایی: $x=k\pi$

مثال مشابه: حل معادله $\sin 2x=2\sin x\cos x$

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی معادلات مثلثاتی دیگر را با استفاده از فرمول‌های مختلف مثلثاتی حل کنی.