حل معادله درجه دوم

حل معادلهٔ درجه دوم ‎\(x^2+5x-14=0\\)

برای یافتن ریشه‌های معادلهٔ درجه دوم می‌توان از دو روش اصلی استفاده کرد: تجزیه (فاکتورگیری) یا استفاده از فرمول کلی (فرمول ریشه‌ها). در اینجا هر دو روش را نشان می‌دهیم.

۱️⃣ تجزیه (فاکتورگیری)

1. به دنبال دو عدد می‌گردیم که حاصلضربشان ‎\\(-14\\) و مجموعشان ‎\\(5\\) باشد.
2. اعداد ‎\\(7\\) و ‎\\(-2\\) این شرایط را برآورده می‌کنند، زیرا ‎\(7\\times(-2)=-14\\) و ‎\(7+(-2)=5\\).
3. معادله را به صورت زیر می‌نویسیم:
   \\[x^2+5x-14=(x+7)(x-2)=0\\]
4. هر یک از عوامل را برابر صفر می‌کنیم:
   \\[x+7=0 \\quad\\Rightarrow\\quad x=-7\\]
   \\[x-2=0 \\quad\\Rightarrow\\quad x=2\\]

۲️⃣ فرمول کلی (فرمول ریشه‌ها)

1. معادله را به شکل استاندارد ‎\(ax^2+bx+c=0\\) بنویسید: ‎\(a=1,\\;b=5,\\;c=-14\\).
2. دیس‌کرمینان (Δ) را محاسبه می‌کنیم:
   \\[\\Delta = b^2-4ac = 5^2-4\\cdot1\\cdot(-14)=25+56=81\\]
3. از فرمول ریشه‌ها استفاده می‌کنیم:
   \\[x = \\frac{-b\\pm\\sqrt{\\Delta}}{2a}=\\frac{-5\\pm\\sqrt{81}}{2}=\\frac{-5\\pm9}{2}\\]
4. دو مقدار به دست می‌آید:
   \\[x_1 = \\frac{-5+9}{2}=2\\]
   \\[x_2 = \\frac{-5-9}{2}=-7\\]

جمع‌بندی

معادله ‎\(x^2+5x-14=0\\) دو ریشه دارد: ‎\(x=2\\) و ‎\(x=-7\\). هر دو روش تجزیه و فرمول کلی به همان نتایج می‌رسند.