تعداد جواب‌های sinx = ⅓ در بازه (۰,π)

راهنمایی کوتاه: برای پیدا کردن تعداد جواب‌های معادله سینوسی در یک بازه، باید نمودار تابع را در آن بازه بررسی کنیم.

گام‌به‌گام:

• ۱) معادله داده شده: $\sin x=\frac{1}{3}$ است.
• ۲) بازه مورد نظر: $0<x<\pi$ (یعنی از ۰ تا پی، بدون خود ۰ و پی).
• ۳) مقدار $\frac{1}{3}$ تقریباً برابر ۰.۳۳ است که بین ۰ و ۱ قرار دارد.
• ۴) در بازه $(0,\pi )$، تابع سینوس از ۰ شروع می‌شود، در $x=\frac{\pi }{2}$ به حداکثر خود (۱) می‌رسد و سپس دوباره به ۰ برمی‌گردد.
• ۵) چون مقدار ⅓ مثبت و کوچکتر از ۱ است، نمودار $y=\sin x$ خط $y=\frac{1}{3}$ را در دو نقطه قطع می‌کند: یکی در ربع اول (بین ۰ و π/۲) و دیگری در ربع دوم (بین π/۲ و π).
• ۶) بنابراین در بازه باز (۰,π) دقیقاً دو جواب وجود دارد.

پاسخ نهایی: تعداد جواب‌های معادله $\sin x=\frac{1}{3}$ در بازه $(0,\pi )$ برابر با ۲ است.

مثال مشابه: معادله $\sin x=\frac{1}{2}$ در بازه (۰,π) نیز دو جواب دارد: $\frac{\pi }{6}$ و $\frac{5}{\pi }6$.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی با رسم نمودار تابع سینوس در بازه‌های مختلف (مثلاً ۰ تا ۲π) و رسم خطوط افقی مانند y=½ یا y=⅓، تعداد تقاطع‌ها را بررسی کنی. همچنین یادت باشد که در بازه بسته [۰,π] اگر خود ۰ و π را هم در نظر بگیری، باید بررسی کنی که آیا در این نقاط معادله برقرار است یا خیر.

راهنمایی کوتاه: برای پیدا کردن تعداد جواب‌های معادله سینوسی در یک بازه، باید نقاط تقاطع نمودار سینوس با خط y=⅓ را در آن بازه بشماریم.

گام‌به‌گام:

• ۱) معادله داده شده: sinx = ⅓. مقدار ⅓ تقریباً برابر ۰.۳۳ است.
• ۲) بازه مورد نظر: x ∈ (۰, π). این یعنی x بین ۰ تا π (۱۸۰ درجه) است، اما خود ۰ و π جزو بازه نیستند.
• ۳) نمودار تابع y = sinx را در بازه (۰, π) در نظر بگیر. این نمودار از ۰ شروع می‌شود، در x=π/۲ به حداکثر ۱ می‌رسد و سپس در x=π به ۰ برمی‌گردد.
• ۴) خط افقی y = ⅓ را رسم کن. این خط نمودار سینوس را در دو نقطه قطع می‌کند: یکی در ربع اول (بین ۰ و π/۲) و دیگری در ربع دوم (بین π/۲ و π).
• ۵) در ربع اول، sinx افزایشی است و از ۰ به ۱ می‌رسد. قطعاً یک بار از ⅓ عبور می‌کند.
• ۶) در ربع دوم، sinx کاهشی است و از ۱ به ۰ می‌رسد. قطعاً یک بار دیگر از ⅓ عبور می‌کند.
• ۷) بنابراین در کل بازه (۰, π)، دو مقدار x وجود دارد که sinx = ⅓.

پاسخ نهایی: تعداد جواب‌های معادله sinx = ⅓ در بازه (۰, π) برابر با ۲ است.

مثال مشابه: تعداد جواب‌های معادله sinx = ½ در بازه (۰, π) را پیدا کن. (پاسخ: ۱، زیرا sinx=½ فقط در x=π/۶ رخ می‌دهد که در ربع اول است و در ربع دوم sinx کاهشی است و از ½ فقط یک بار عبور می‌کند؟ نه! دقت کن: sin(π-π/۶)=sin(۵π/۶)=½. پس دو جواب دارد: π/۶ و ۵π/۶).

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: می‌توانی با رسم دقیق‌تر نمودار sinx و خط y=⅓، یا با استفاده از تابع معکوس سینوس (arcsin) و رابطه sin(π-α)=sinα، جواب‌های دقیق را پیدا کنی: x = arcsin(⅓) و x = π - arcsin(⅓).