پيوستگي تابع سينوس
تابع $f(x) = \sin(x)$ يک تابع مثلثاتی است که در تمام نقاط دامنه خود تعریف شده است. برای بررسی پیوستگی این تابع، باید نشان دهیم که در هر نقطه $x = a$، حد تابع در آن نقطه با مقدار تابع در آن نقطه برابر است.
از تعریف حد و پیوستگی می‌دانیم که:
- حد تابع $f(x)$ در نقطه $x = a$ برابر است با $\lim_{x \to a} f(x)$
- مقدار تابع در $x = a$ برابر است با $f(a)$
برای تابع $f(x) = \sin(x)$ داریم:
- $\lim_{x \to a} \sin(x) = \sin(a)$
به عبارت دیگر، برای هر $\epsilon > 0$، وجود دارد $\delta > 0$ به طوری که اگر $|x - a| < \delta$ آنگاه $|\sin(x) - \sin(a)| < \epsilon$.
با استفاده از اتحاد مثلثاتی $|\sin_{x} - \kt_{a}| = 2|\cos(\frac{x+a}{2})\sin(\frac{x-a}{2})|$ و با توجه به اینکه $|\cos(\frac{x+a}{2})| \leq 1$ و $|\sin(\frac{x-a}{2})| \leq |\frac{x-a}{2}|$ داريم $|\sin(x) - \sin(a)| \leq |x - a|$.
بنابراین با انتخاب $\delta = \epsilon$ شرط پیوستگی برآورده می‌شود و تابع $f(x) = \sin(x)$ در هر نقطه $x = a$ پیوسته است.
یادآوری ایمنی: در استفاده از مفاهیم ریاضی دقت کنید.
