راهنمایی کوتاه: باید عددی ششرقمی بسازیم که همه رقمهایش متفاوت باشند، زوج باشد، رقم صدگانش ۹ باشد و مجموع رقمهایش ۳۰ شود.
گامبهگام:
- ۱) عدد ششرقمی است: پس شش رقم دارد: صدهزارگان، دههزارگان، هزارگان، صدگان، دهگان، یکان.
- ۲) رقم صدگان (رقم سوم از سمت راست) باید ۹ باشد: _ _ ۹ _ _ _
- ۳) عدد باید زوج باشد: پس رقم یکان (آخرین رقم) باید زوج باشد (۰، ۲، ۴، ۶، ۸).
- ۴) همه رقمها باید متفاوت باشند (غیرتکراری).
- ۵) مجموع همه رقمها باید ۳۰ باشد.
- ۶) میخواهیم بزرگترین عدد ممکن را پیدا کنیم. پس باید بزرگترین رقمهای ممکن را از سمت چپ (صدهزارگان) قرار دهیم.
پاسخ نهایی: عدد ۹۸۷۹۰۶
بیایید بررسی کنیم:
- رقمها: ۹، ۸، ۷، ۹، ۰، ۶ → اما صبر کنید! رقم ۹ دو بار تکرار شده است (صدهزارگان و صدگان). این مجاز نیست چون عدد باید غیرتکراری باشد. پس این جواب درست نیست.
- بیایید دوباره فکر کنیم: بزرگترین رقم برای صدهزارگان ۹ است، اما رقم صدگان هم ۹ است. پس نمیتوانیم صدهزارگان را ۹ بگذاریم چون رقم ۹ تکراری میشود. پس بزرگترین رقم ممکن برای صدهزارگان که با ۹ متفاوت باشد، ۸ است.
- حالا عدد به این شکل است: ۸ _ ۹ _ _ _
- باید بزرگترین رقم ممکن برای دههزارگان انتخاب کنیم. بزرگترین رقم بعد از ۸ که هنوز استفاده نشده، ۷ است (چون ۹ و ۸ استفاده شدهاند).
- عدد: ۸ ۷ ۹ _ _ _
- برای هزارگان بزرگترین رقم ممکن ۶ است (چون ۹،۸،۷ استفاده شدهاند).
- عدد: ۸ ۷ ۹ ۶ _ _
- حالا دو رقم باقی مانده: دهگان و یکان. یکان باید زوج باشد. رقمهای باقیمانده از بین ۰،۱،۲،۳،۴،۵ انتخاب میشوند (چون ۶،۷،۸،۹ استفاده شدهاند).
- مجموع رقمهای فعلی: ۸+۷+۹+۶ = ۳۰. اما وای! مجموع همین چهار رقم ۳۰ شده است! پس مجموع دو رقم باقیمانده (دهگان و یکان) باید ۰ باشد تا مجموع کل ۳۰ بماند.
- تنها راهی که مجموع دو رقم ۰ شود این است که هر دو ۰ باشند. اما رقمها نباید تکراری باشند و یکان باید زوج باشد. اگر هر دو ۰ باشند، رقم ۰ تکراری میشود و این مجاز نیست.
- پس مشکلی پیش آمده. یعنی با این شرایط نمیتوان عددی ساخت؟ بیایید دوباره از اول شروع کنیم.
بیایید منطقیتر فکر کنیم:
- میدانیم چهار رقم اول (صدهزارگان، دههزارگان، هزارگان، صدگان) باید بزرگترین رقمهای ممکن باشند و غیرتکراری.
- رقم صدگان ۹ است.
- برای صدهزارگان بزرگترین رقم ممکن بعد از ۹، عدد ۸ است.
- برای دههزارگان بزرگترین رقم ممکن بعد از ۸ و ۹، عدد ۷ است.
- برای هزارگان بزرگترین رقم ممکن بعد از ۷،۸،۹، عدد ۶ است.
- حالا: ۸ + ۷ + ۹ + ۶ = ۳۰. پس مجموع این چهار رقم خودش ۳۰ است!
- این یعنی برای دو رقم آخر (دهگان و یکان) مجموع باید ۰ باشد تا مجموع کل ۳۰ شود.
- تنها رقمهای غیرتکراری که مجموعشان ۰ شود، ۰ و ۰ است که تکراری هستند. یا میتوان یکی مثبت و دیگری منفی باشد که برای رقم ممکن نیست.
- پس با این چهار رقم اول، امکان ساخت عدد وجود ندارد.
- پس باید یکی از رقمهای اول را کوچکتر کنیم تا جا برای دو رقم آخر باز شود.
- فرض کنیم هزارگان را به جای ۶، عدد ۵ میگذاریم. حالا: ۸+۷+۹+۵ = ۲۹. پس باید مجموع دو رقم آخر ۱ شود (۳۰-۲۹=۱).
- باید دو رقم غیرتکراری پیدا کنیم که مجموعشان ۱ باشد و یکان زوج باشد. ممکن است دهگان=۰ و یکان=۱؟ اما یکان=۱ فرد است. دهگان=۱ و یکان=۰؟ یکان=۰ زوج است. اما رقم ۱ هنوز استفاده نشده؟ بله. رقم ۰ هم استفاده نشده. و غیرتکراری هستند. پس این جواب میشود.
- پس عدد میشود: ۸ ۷ ۹ ۵ ۱ ۰
- بررسی: رقمها: ۸،۷،۹،۵،۱،۰ → همه متفاوت هستند. صدگان=۹. یکان=۰ (زوج). مجموع: ۸+۷+۹+۵+۱+۰ = ۳۰. ✓
- آیا عدد بزرگتری میتوان ساخت؟ بله، باید دو رقم آخر را طوری انتخاب کنیم که خود عدد بزرگتر شود. ما دهگان=۱ و یکان=۰ گذاشتیم. اگر جای آنها را عوض کنیم؟ دهگان=۰ و یکان=۱؟ اما یکان=۱ فرد است و زوج نیست. پس نمیشود.
- حالا ببینیم آیا میتوان هزارگان را ۵ گذاشت و دو رقم آخر را طوری انتخاب کرد که عدد بزرگتر شود؟ بزرگترین عدد برای دو رقم آخر وقتی که مجموعشان ۱ باشد و یکان زوج باشد، دهگان=۱ و یکان=۰ است که ما گذاشتیم. اگر دهگان بزرگتری میخواستیم، مثلاً ۲، آنگاه یکان باید ۱- شود که ممکن نیست.
- پس عدد ۸۷۹۵۱۰ جواب است. اما صبر کنید! آیا میتوان هزارگان را ۴ گذاشت و دو رقم آخر را بزرگتر کرد؟ اگر هزارگان=۴، آنگاه مجموع چهار رقم اول: ۸+۷+۹+۴=۲۸. پس باید مجموع دو رقم آخر ۲ شود (۳۰-۲۸=۲). بزرگترین ترکیب برای دو رقم آخر با مجموع ۲ و یکان زوج: دهگان=۲ و یکان=۰؟ اما یکان=۰ زوج است. رقم ۲ و ۰ هنوز استفاده نشده؟ بله. پس عدد میشود: ۸۷۹۴۲۰. این عدد از ۸۷۹۵۱۰ بزرگتر است؟ بله، چون در هزارگان ۴ از ۵ کوچکتر است، اما در دهگان ۲ از ۱ بزرگتر است. اما مقایسه اعداد: ۸۷۹۴۲۰ با ۸۷۹۵۱۰: تا هزارگان هر دو برابرند (۸۷۹). در جایگاه هزارگان: ۴ در مقابل ۵. ۵ بزرگتر است. پس ۸۷۹۵۱۰ بزرگتر از ۸۷۹۴۲۰ است. چون در اولین جایگاه متفاوت (هزارگان)، رقم ۵ از ۴ بزرگتر است.
- پس ۸۷۹۵۱۰ بزرگتر است.
- حالا ببینیم آیا میتوان هزارگان را ۶ گذاشت و دو رقم آخر را منفی کرد؟ نه، ممکن نیست.
- پس به نظر میرسد جواب ۸۷۹۵۱۰ است.
- بیایید یک بار دیگر همه شرایط را برای ۸۷۹۵۱۰ بررسی کنیم:
۱. شش رقمی است: بله.
۲. همه رقمها غیرتکراری: ۸،۷،۹،۵،۱،۰ → همه متفاوت هستند.
۳. زوج است: یکان=۰ (زوج).
۴. رقم صدگان=۹: رقم سوم از راست: ۰(یکان)، ۱(دهگان)، ۵(هزارگان)، ۹(صدگان) → بله.
۵. مجموع رقمها: ۸+۷+۹+۵+۱+۰ = ۳۰ → بله.
۶. بزرگترین ممکن: با توجه به استدلال بالا، بله.
پاسخ نهایی (تصحیح شده): ۸۷۹۵۱۰
مثال مشابه: بزرگترین عدد پنجرقمی فرد که رقم دهگانش ۴ و مجموع رقمهایش ۲۰ باشد را پیدا کن. (پاسخ: ۹۴۳۰۱؟ باید بررسی کنی!)
اگر میخواهی بیشتر یاد بگیری: سعی کن کوچکترین عدد ششرقمی زوج غیرتکراری را با همین شرایط (صدگان=۹، مجموع=۳۰) پیدا کنی. یا شرایط را عوض کن و تمرین کن.
