توضیح توان، رادیکال و معادله ترکیبی

سلام! خیلی خوبه که می‌خواهی درباره‌ی توان، رادیکال و معادله‌های ترکیبی یاد بگیری. این مفاهیم در ریاضیات بسیار کاربردی هستند و با هم ارتباط نزدیکی دارند.

راهنمایی کوتاه: توان نشان‌دهنده‌ی تکرار ضرب یک عدد در خودش است و رادیکال (جذر) عمل معکوس توان است.

گام‌به‌گام:

• ۱) تعریف توان: اگر عدد $a$ را $n$ بار در خودش ضرب کنیم، می‌نویسیم $a^n$. به $a$ پایه و به $n$ توان می‌گوییم. مثال: $2^3=2\times 2\times 2=8$.
• ۲) تعریف رادیکال (جذر): رادیکال عمل معکوس توان است. جذر دوم (ریشه دوم) یک عدد، عددی است که اگر در خودش ضرب شود، عدد اولیه به دست آید. مثال: $\sqrt{9}=3$ چون $3^2=9$.
• ۳) ارتباط توان و رادیکال: می‌توانیم رادیکال را با توان کسری هم نشان دهیم. مثال: $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.
• ۴) معادله ترکیبی: معادله‌ای که در آن هم توان و هم رادیکال وجود دارد. برای حل آن، معمولاً سعی می‌کنیم رادیکال را جدا کنیم یا از توان استفاده کنیم تا رادیکال حذف شود.
• ۵) مثال کامل: معادله‌ی $\sqrt{x+5}=3$ را در نظر بگیر. دو طرف معادله را به توان ۲ می‌رسانیم تا رادیکال حذف شود: ${\left(\sqrt{x+5}\right)}^2=3^2$ که می‌شود $x+5=9$. حالا معادله ساده است: $x=9-5=4$. جواب $x=4$ است.
• ۶) بررسی جواب: همیشه جواب به دست آمده را در معادله اصلی جایگزین کن تا مطمئن شوی درست است: $\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3$. بله، درست است!

پاسخ نهایی: توان نشان‌دهنده‌ی ضرب مکرر یک عدد در خودش است (مثل $2^3=8$). رادیکال (جذر) عمل معکوس توان است (مثل $\sqrt{9}=3$). در یک معادله ترکیبی مانند $\sqrt{x+5}=3$، با به توان رساندن دو طرف، رادیکال را حذف می‌کنیم و معادله را حل می‌کنیم که جواب $x=4$ می‌شود.

مثال مشابه: معادله $\sqrt{2x-1}=5$ را حل کن. (راهنمایی: دو طرف را به توان ۲ برسان، سپس معادله خطی را حل کن. جواب باید $x=13$ شود.)

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: سعی کن معادله‌های ترکیبی پیچیده‌تری مانند $\sqrt{x+2}+3=7$ را حل کنی. اول عدد ۳ را به طرف دیگر ببر، سپس مانند قبل عمل کن. همچنین می‌توانی درباره‌ی رادیکال با توان‌های دیگر (مثل ریشه سوم) تحقیق کنی.