راهنمایی کوتاه: این مساله دربارهی ارتفاعهای متوالی توپ بعد از هر برخورد با زمین است.
گامبهگام:
- ۱) ارتفاع اولیه: توپ از ارتفاع ۱۰ متری رها میشود.
- ۲) قانون پرش: بعد از هر برخورد با زمین، توپ به ارتفاع ۰/۸ (یا ۸۰٪) ارتفاع قبلیاش بالا میرود.
- ۳) پنجره: پنجره بین ارتفاع ۵ متر (لبه پایین) و ۶ متر (لبه بالا) قرار دارد. یعنی وقتی توپ بین ۵ تا ۶ متر ارتفاع دارد، از پنجره دیده میشود.
- ۴) محاسبه ارتفاعها:
- بار اول (رها شدن): از ۱۰ متر به سمت زمین (از پنجره دیده میشود چون از ۶ به ۵ میرود).
- بعد از برخورد اول: ارتفاع جدید = ۱۰ × ۰/۸ = ۸ متر (از ۸ به پایین، از پنجره عبور میکند).
- بعد از برخورد دوم: ارتفاع = ۸ × ۰/۸ = ۶/۴ متر (از ۶/۴ به پایین، از پنجره عبور میکند چون از بالای ۶ شروع میشود).
- بعد از برخورد سوم: ارتفاع = ۶/۴ × ۰/۸ = ۵/۱۲ متر (بین ۵ و ۶ است، پس از پنجره دیده میشود).
- بعد از برخورد چهارم: ارتفاع = ۵/۱۲ × ۰/۸ = ۴/۰۹۶ متر (کمتر از ۵ متر است، دیگر از پنجره دیده نمیشود). - ۵) شمردن دفعات: توپ در مسیرهای زیر از پنجره دیده میشود:
- هنگام پایین آمدن اول از ۱۰ متر
- هنگام پایین آمدن از ۸ متر
- هنگام پایین آمدن از ۶/۴ متر
- هنگام پایین آمدن از ۵/۱۲ متر
همچنین هنگام بالا آمدن بعد از برخورد اول (از زمین به ۸ متر) و بعد از برخورد دوم (از زمین به ۶/۴ متر) نیز از پنجره عبور میکند. - ۶) جمعبندی: در کل ۶ بار (۳ بار پایین آمدن، ۲ بار بالا آمدن، و یک بار در ارتفاع ۵/۱۲ که فقط پایین آمدن دارد) از پنجره دیده میشود.
پاسخ نهایی: توپ در مجموع ۶ بار از پنجره دیده میشود.
مثال مشابه: اگر توپ از ۲۰ متر رها شود و بعد از هر برخورد ۰/۷ ارتفاع قبلی بالا رود، و پنجره بین ۸ تا ۱۰ متر باشد، چند بار دیده میشود؟ میتوانی ارتفاعها را مرحله به مرحله حساب کنی.
اگر میخواهی بیشتر یاد بگیری: این مساله با دنبالههای هندسی (ضربهای متوالی) مرتبط است. میتوانی ارتفاع بعد از n امین برخورد را با فرمول: ارتفاع = ۱۰ × (۰/۸)^n به دست آوری.
