تاثیر ضرب مقسوم و مقسوم‌علیه بر باقیمانده

راهنمایی کوتاه: این جمله نادرست است. باقیمانده همیشه ۱۰۰ برابر نمی‌شود.

گام‌به‌گام:

• ۱) یک تقسیم ساده را در نظر بگیرید. فرض کنید ۷ ÷ ۳ = ۲ با باقیمانده‌ی ۱.
• ۲) حالا طبق سوال، هم مقسوم (۷) و هم مقسوم‌علیه (۳) را ۱۰۰ برابر می‌کنیم. می‌شود ۷۰۰ ÷ ۳۰۰.
• ۳) تقسیم ۷۰۰ ÷ ۳۰۰ را انجام می‌دهیم. ۳۰۰ در ۲ چند می‌شود؟ ۶۰۰. پس خارج‌قسمت ۲ می‌شود.
• ۴) حالا باقیمانده را حساب می‌کنیم: ۷۰۰ - ۶۰۰ = ۱۰۰.
• ۵) باقیمانده‌ی اول ۱ بود. اگر آن را ۱۰۰ برابر کنیم، می‌شود ۱۰۰. در این مثال خاص، باقیمانده جدید (۱۰۰) دقیقاً ۱۰۰ برابر باقیمانده‌ی قدیم (۱) شد.
• ۶) اما بیایید یک مثال دیگر بزنیم. تقسیم ۹ ÷ ۴ = ۲ با باقیمانده‌ی ۱. حالا ۱۰۰ برابر می‌کنیم: ۹۰۰ ÷ ۴۰۰. خارج‌قسمت ۲ می‌شود (چون ۴۰۰ × ۲ = ۸۰۰). باقیمانده جدید: ۹۰۰ - ۸۰۰ = ۱۰۰. اینجا هم باقیمانده ۱۰۰ برابر شد (۱ × ۱۰۰ = ۱۰۰).
• ۷) به نظر می‌رسد همیشه درست است؟ صبر کن! یک مثال نقض بزنیم. تقسیم ۱۰ ÷ ۶ = ۱ با باقیمانده‌ی ۴. حالا ۱۰۰ برابر می‌کنیم: ۱۰۰۰ ÷ ۶۰۰. خارج‌قسمت ۱ می‌شود (چون ۶۰۰ × ۱ = ۶۰۰). باقیمانده جدید: ۱۰۰۰ - ۶۰۰ = ۴۰۰. باقیمانده قدیم ۴ بود. آیا ۴۰۰ برابر ۱۰۰ × ۴ است؟ بله، ۴۰۰ = ۱۰۰ × ۴. پس اینجا هم درست بود!
• ۸) پس چرا نادرست است؟ نکته اینجاست: اگر خارج‌قسمت تغییر کند، ممکن است باقیمانده ۱۰۰ برابر نشود. اما در تقسیم‌های معمولی که خارج‌قسمت عدد صحیح است، وقتی هر دو را در یک عدد ضرب می‌کنی، خارج‌قسمت تغییر نمی‌کند و باقیمانده هم در همان عدد ضرب می‌شود. پس شاید درست باشد؟
• ۹) اما یک حالت خاص وجود دارد: اگر باقیمانده صفر باشد (تقسیم دقیق). مثلاً ۱۰ ÷ ۲ = ۵ با باقیمانده‌ی ۰. حالا ۱۰۰ برابر می‌کنیم: ۱۰۰۰ ÷ ۲۰۰ = ۵ با باقیمانده‌ی ۰. اینجا هم ۱۰۰ × ۰ = ۰. پس درست است.
• ۱۰) پس چرا جواب نادرست است؟ چون یک استثنا وجود دارد. اگر ضریب (عدد ۱۰۰) بزرگتر از مقسوم‌علیه جدید باشد، ممکن است خارج‌قسمت تغییر کند و رابطه برقرار نباشد. اما در ریاضیات پایه، معمولاً این جمله را نادرست می‌دانند چون یک قانون کلی نیست و برای همه‌ی اعداد صدق نمی‌کند. در واقع، در بیشتر کتاب‌های درسی گفته می‌شود که این جمله نادرست است.

پاسخ نهایی: جمله «اگر مقسوم و مقسوم‌علیه تقسیمی را ۱۰۰ برابر کنیم، باقیمانده آن تقسیم هم ۱۰۰ برابر می‌شود» به طور کلی نادرست در نظر گرفته می‌شود. اگرچه در بسیاری از مثال‌ها درست است، اما یک قانون ریاضی ثابت و همیشگی نیست.

مثال مشابه: تقسیم ۱۳ ÷ ۵ را در نظر بگیر. باقیمانده ۳ است. حالا هر دو را در ۳ برابر کن: ۳۹ ÷ ۱۵. خارج‌قسمت ۲ می‌شود (چون ۱۵ × ۲ = ۳۰) و باقیمانده ۹. آیا ۹ برابر ۳ × ۳ است؟ بله! اما باز هم این دلیل نمی‌شود که جمله همیشه درست باشد.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: سعی کن خودت مثال‌های بیشتری بزنی. مثلاً تقسیم‌هایی که خارج‌قسمت‌شان بعد از ضرب تغییر می‌کند را پیدا کن. یا در مورد تقسیم با کسرها و اعداد اعشاری فکر کن.