حل انتگرال سه‌گانه با توان

هفتم عربی هفتم

$9\int_0^{\infty}\!6\int_0^{\infty}\!\int_0^{\infty}\!\,dx\,dx\,dx^6$ [removed unnecessary HTML tags]

کاربر مهمان

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

سلام! سوال جالبی مطرح کردی. این یک انتگرال سه‌گانه است که باید آن را حل کنیم. بیا با هم مرحله به مرحله پیش برویم.

راهنمایی کوتاه: ابتدا انتگرال‌ها را یکی یکی حل می‌کنیم، از درونی‌ترین شروع می‌کنیم.

گام‌به‌گام:

۱) ابتدا به عبارت نگاه می‌کنیم: $9 \int 0 \infty 6 \int 0 \infty \int 0 \infty d x d x d x^{6}$
۲) این را می‌توانیم به صورت $9 \times 6 \times \int 0 \infty \int 0 \infty \int 0 \infty d x d x d x^{6}$ بنویسیم
۳) ابتدا انتگرال درونی را حل می‌کنیم: $\int 0 \infty d x^{6}$
۴) $d x^{6}$ یعنی $6 x^{5} d x$ ، پس داریم: $\int 0 \infty 6 x^{5} d x$
۵) این انتگرال نامعین است (از 0 تا بی‌نهایت). وقتی $x^{5}$ را از 0 تا ∞ انتگرال می‌گیریم، در ∞ به بی‌نهایت می‌رود، پس این انتگرال واگرا می‌شود
۶) چون انتگرال درونی واگرا است، کل انتگرال سه‌گانه نیز واگرا خواهد بود

پاسخ نهایی: این انتگرال سه‌گانه واگرا است (جواب ندارد) زیرا انتگرال $\int 0 \infty x^{5} d x$ واگرا می‌شود.

مثال مشابه: انتگرال $\int 0 \infty x^{2} d x$ نیز واگرا است چون وقتی x بزرگ می‌شود، مقدار تابع به بی‌نهایت می‌رود.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: درباره انتگرال‌های معین و نامعین مطالعه کن. انتگرال‌های نامعین (با بازه 0 تا ∞) فقط وقتی همگرا هستند که تابع به اندازه کافی سریع به صفر نزدیک شود.