حل مسئله
برای حل این مسئله، ابتدا نامساوی داده شده را بررسی می‌کنیم: $100 < \sqrt{n(n+1)} < 105$
با به توان دو رساندن هر سه بخش نامساوی، داریم:
- $10000 < n(n+1) < 11025$
حال، باید مقادیر $n$ را پیدا کنیم که در این نامساوی صدق کنند.
ابتدا، نابرابری $n(n+1) > 10000$ را حل می‌کنیم:
- $n^2 + n - 10000 > 0$
با حل این معادله درجه دو، ریشه‌های آن به دست می‌آید. ریشه‌های معادله $n^2 + n - 10000 = 0$ حدوداً $n \approx 99.5$ و $n \approx -100.5$ هستند. از آنجا که $n$ عدد طبیعی است، $n$ باید بزرگتر از $99.5$ باشد، پس $n \geq 100$.
سپس، نابرابری $n(n+1) < 11025$ را حل می‌کنیم:
- $n^2 + n - 11025 < 0$
با حل این معادله درجه دو، ریشه‌های آن به دست می‌آید. ریشه‌های معادله $n^2 + n - 11025 = 0$ حدوداً $n \approx 104.5$ و $n \approx -105.5$ هستند. از آنجا که $n$ عدد طبیعی است، $n$ باید کوچکتر از $104.5$ باشد، پس $n \leq 104$.
بنابراین، مقادیر $n$ بین $100$ و $104$ (شامل) قرار دارند.
اعداد طبیعی در این بازه $100، 101، 102، 103، 104$ هستند که تعدادشان ۵ می‌باشد.
نتیجه
تعداد اعداد طبیعی $n$ که در نامساوی داده شده صدق می‌کنند، ۵ عدد است.
