بررسی درستی گزاره‌های توانی

راهنمایی کوتاه: بیایید هر گزاره را جداگانه بررسی کنیم تا ببینیم کدام یک نادرست است.

گام‌به‌گام:

• ۱) گزاره اول: (−۱)⁴ > (−۱)²¹
  مقدار (−۱)⁴ = ۱ (چون توان زوج است)
  مقدار (−۱)²¹ = −۱ (چون توان فرد است)
  آیا ۱ > −۱؟ بله، درست است.
• ۲) گزاره دوم: (۱٫۲)⁷ > (۱٫۰۰۲)⁷
  هر دو پایه مثبت و بزرگتر از ۱ هستند. پایه بزرگتر (۱٫۲) با توان یکسان (۷) قطعاً نتیجه بزرگتری دارد.
  پس این گزاره هم درست است.
• ۳) گزاره سوم: ۲⁻³ < ۵⁻³
  ۲⁻³ = ۱/۲³ = ۱/۸ = ۰٫۱۲۵
  ۵⁻³ = ۱/۵³ = ۱/۱۲۵ = ۰٫۰۰۸
  آیا ۰٫۱۲۵ < ۰٫۰۰۸؟ خیر! ۰٫۱۲۵ بزرگتر از ۰٫۰۰۸ است.
  پس این گزاره نادرست است.
• ۴) گزاره چهارم: (۰٫۹۹۹۸۷)⁹⁹⁸ < ۱۰⁰
  ۱۰⁰ = ۱
  پایه ۰٫۹۹۹۸۷ کوچکتر از ۱ است و وقتی به توان مثبت می‌رسد، نتیجه کوچکتر از ۱ می‌شود.
  پس قطعاً (۰٫۹۹۹۸۷)⁹⁹⁸ < ۱ درست است.

پاسخ نهایی: گزاره سوم نادرست است، زیرا ۲⁻³ (۰٫۱۲۵) از ۵⁻³ (۰٫۰۰۸) بزرگتر است، نه کوچکتر.

مثال مشابه: کدام درست است؟ ۳⁻² < ۴⁻۲؟
۳⁻² = ۱/۹ ≈ ۰٫۱۱۱ و ۴⁻² = ۱/۱۶ = ۰٫۰۶۲۵. پس ۰٫۱۱۱ > ۰٫۰۶۲۵، بنابراین گزاره نادرست است.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: برای اعداد مثبت، اگر a > b > ۰، آنگاه a⁻ⁿ < b⁻ⁿ (یعنی هرچه پایه بزرگتر باشد، توان منفی آن کوچکتر می‌شود). این را با رسم نمودار تابع f(x)=x⁻ⁿ برای n>0 بررسی کن.

سلام! بیا با هم این گزاره‌ها را بررسی کنیم تا ببینیم کدام یک علامت نادرست دارد.

راهنمایی کوتاه: هر گزاره را جداگانه محاسبه یا مقایسه کن.

گام‌به‌گام:

• گام ۱: گزاره اول: ${\left(-1\right)}^4>{\left(-1\right)}^{21}$. چون توان زوج است، جواب مثبت می‌شود: $1>-1$. پس گزاره درست است.
• گام ۲: گزاره دوم: ${1.2}^7>{\left(1^{0.02}\right)}^7$. توجه کن که $1^{0.02}=1$ (چون ۱ به هر توانی برابر ۱ است). پس داریم: ${1.2}^7>1^7=1$. از آنجا که ${1.2}^7$ قطعاً بزرگ‌تر از ۱ است، گزاره درست است.
• گام ۳: گزاره سوم: $2^{-3}<5^{-3}$. یادت باشد که $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$ و $5^{-3}=\frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}$. چون $\frac{1}{8}>\frac{1}{125}$، پس گزاره که می‌گوید کوچکتر است، نادرست است.
• گام ۴: گزاره چهارم: ${0.99987}^{998}<{10}^0$. می‌دانیم ${10}^0=1$. عددی کوچکتر از ۱ (مثل ۰.۹۹۹۸۷) وقتی به توان بزرگی برسد، کوچک‌تر می‌شود (ولی همچنان مثبت است). پس ${0.99987}^{998}$ قطعاً کوچکتر از ۱ است. گزاره درست است.

پاسخ نهایی: گزاره سوم علامت نادرست دارد.

مثال مشابه: کدام درست است؟ $3^{-2}<2^{-2}$ یا $3^{-2}>2^{-2}$؟ محاسبه کن: $\frac{1}{9}<\frac{1}{4}$، پس گزاره اول درست است.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: تمرین کن: برای اعداد مثبت کوچکتر از ۱، با افزایش توان، مقدار کاهش می‌یابد. برای اعداد بزرگتر از ۱، با افزایش توان، مقدار افزایش می‌یابد. همچنین، برای توان‌های منفی، هرچه پایه بزرگتر باشد، نتیجه کوچکتر می‌شود.