اجتماع دو مجموعه A و B به مجموعهای گفته میشود که شامل همه عناصر مجموعه A و همه عناصر مجموعه B است. حال سوال این است که آیا اجتماع دو مجموعه A و B همواره زیرمجموعه هر یک از آنها است؟
راهنمایی کوتاه: خیر، این گزاره نادرست است.
گامبهگام:
- ۱) تعریف اجتماع دو مجموعه: $A \cup B = \{x | x \in A \text{ یا } x \in B\}$
- ۲) تعریف زیرمجموعه: $A \subseteq B$ یعنی هر عضو A عضوی از B باشد.
- ۳) بررسی گزاره: اگر $A \subseteq B$ یا $B \subseteq A$ باشد، آنگاه $A \cup B = B$ یا $A \cup B = A$ خواهد بود و در این صورت $A \cup B$ زیرمجموعه یکی از آنها است. اما اگر نه $A \subseteq B$ و نه $B \subseteq A$ باشد، آنگاه $A \cup B$ نه زیرمجموعه A و نه زیرمجموعه B خواهد بود.
پاسخ نهایی: خیر، اجتماع دو مجموعه لزوما زیرمجموعه هیچیک از آنها نیست.
مثال مشابه: اگر $A = \{1, 2\}$ و $B = \{3, 4\}$، آنگاه $A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$ که نه زیرمجموعه A و نه زیرمجموعه B است.
