توضیح مسئله
در نظریه مجموعه‌ها، تساوی دو مجموعه به این معنی است که هر دو مجموعه دقیقاً شامل عناصر یکسانی باشند. در اینجا، ما می‌خواهیم بدانیم آیا اگر $B$ زیرمجموعه $A$ باشد، آنگاه $A \cup B = A$ درست است یا خیر.
تعریف زیرمجموعه و اجتماع
- زیرمجموعه: $B$ زیرمجموعه $A$ است اگر و تنها اگر هر عضو $B$ عضوی از $A$ باشد. به عبارت دیگر، $\forall x (x \in B \rightarrow x \in A)$.
- اجتماع: $A \cup B$ مجموعه‌ای است شامل همه عناصری که حداقل در یکی از مجموعه‌های $A$ یا $B$ وجود دارند.
اثبات
اگر $B \subseteq A$ باشد، آنگاه هر عضو $B$ عضوی از $A$ است. بنابراین، $A \cup B$ شامل همه عناصر $A$ به علاوه عناصر $B$ است که همگی در $A$ هستند. پس $A \cup B = A$.
به بیان ریاضی:
اگربنابراین، گزاره «اگر $B$ زیرمجموعه $A$ باشد، آنگاه $A \cup B = A$» صحیح است.
