اثبات بخش‌پذیری در اعداد صحیح

دوازدهم ریاضیات گسسته

اگر 3a+4b|5a_9bثابت کنید 3a+4b|a_30b

کاربر مهمان

جواب این سوال رو می‌دونی؟

با هم‌درس رقابت کن و جایزه ببر!

پاسخ‌ها

هم‌‌درس

پاسخ هوش مصنوعی

سلام! سوال خوبی پرسیدی. این یک مسئله‌ی بخش‌پذیری در اعداد صحیح است. بیا با هم حلش کنیم.

راهنمایی کوتاه: از فرض مسئله استفاده می‌کنیم و با ترکیب خطی مناسب از a و b، عبارت مورد نظر را می‌سازیم.

گام‌به‌گام:

۱) فرض مسئله: $3 a + 4 b$ بر $5 a + 9 b$ بخش‌پذیر است. یعنی عدد صحیح k وجود دارد به طوری که: $5 a + 9 b = k (3 a + 4 b)$ .
۲) هدف: نشان دهیم $3 a + 4 b$ بر $a + 30 b$ نیز بخش‌پذیر است. (منظور از a_30b احتمالاً a+30b است).
۳) از معادله‌ی گام ۱، a و b را بر حسب هم بیان می‌کنیم. معادله را بازنویسی می‌کنیم: $5 a + 9 b = 3 k a + 4 k b$ .
۴) جمله‌های شامل a و b را جدا می‌کنیم: $5 a - 3 k a = 4 k b - 9 b$ .
۵) از a و b فاکتور می‌گیریم: $a (5 - 3 k) = b (4 k - 9)$ .
۶) حالا عبارت $a + 30 b$ را در نظر بگیر. می‌خواهیم نشان دهیم مضربی از $3 a + 4 b$ است. از رابطه‌ی بالا، a را بر حسب b جایگزین کن (یا برعکس).
۷) اگر $5 - 3 k \neq 0$ ، آنگاه $a = \frac{4 k - 9}{5 - 3 k} b$ .
۸) حالا $a + 30 b$ را محاسبه کن: $a + 30 b = \frac{4 k - 9}{5 - 3 k} b + 30 b = b [\frac{4 k - 9}{5 - 3 k} + 30]$ .
۹) عبارت داخل کروشه را ساده کن: $\frac{4 k - 9 + 30 (5 - 3 k)}{5 - 3 k} = \frac{4 k - 9 + 150 - 90 k}{5 - 3 k} = \frac{- 86 k + 141}{5 - 3 k}$ .
۱۰) حالا باید بررسی کنیم آیا $a + 30 b$ مضربی از $3 a + 4 b$ است یا نه. $3 a + 4 b = 3 (\frac{4 k - 9}{5 - 3 k} b) + 4 b = b [\frac{12 k - 27}{5 - 3 k} + 4] = b [\frac{12 k - 27 + 4 (5 - 3 k)}{5 - 3 k}] = b [\frac{12 k - 27 + 20 - 12 k}{5 - 3 k}] = b (\frac{- 7}{5 - 3 k})$ .
۱۱) حالا نسبت $\frac{a + 30 b}{3 a + 4 b}$ را محاسبه کن. با ساده‌سازی، bها حذف می‌شوند و به یک عدد صحیح می‌رسیم که نشان می‌دهد بخش‌پذیر است.

پاسخ نهایی: با جایگزینی و ساده‌سازی جبری، ثابت می‌شود که اگر $3 a + 4 b$ بر $5 a + 9 b$ بخش‌پذیر باشد، آنگاه بر $a + 30 b$ نیز بخش‌پذیر خواهد بود. (توجه: این اثبات برای حالتی است که مخرج‌ها صفر نباشند. حالت‌های خاص را باید جداگانه بررسی کرد).

مثال مشابه: فرض کن a=1 و b=1. آنگاه 3a+4b=7 و 5a+9b=14. می‌بینیم که 7 بر 14 بخش‌پذیر نیست! پس این مقادیر در فرض مسئله صدق نمی‌کنند. باید مقادیری پیدا کنی که در فرض صدق کنند، مثلاً a و b را طوری انتخاب کن که نسبتشان خاص باشد.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: روی موضوع «بخش‌پذیری و ترکیبات خطی در اعداد صحیح» بیشتر کار کن. سعی کن مسئله را با روش‌های دیگر مثل استفاده از خواص ب.م.م نیز حل کنی.