بررسی رابطه a=b و a²=b²

راهنمایی کوتاه: این رابطه درست نیست؛ a=b همیشه به a²=b² منجر می‌شود، اما عکس آن همیشه درست نیست.

گام‌به‌گام:

1. اول، بیایید قسمت اول را بررسی کنیم: اگر a=b باشد، آیا a²=b² است؟
2. اگر a=b، پس هر دو طرف برابر هستند. اگر هر دو طرف را در خودشان ضرب کنیم (یعنی به توان ۲ برسانیم)، باز هم برابر می‌مانند.
3. پس a=b ⇒ a²=b² همیشه درست است (این جهت از رابطه درست است).
4. حالا قسمت دوم را بررسی کنیم: اگر a²=b² باشد، آیا حتماً a=b است؟
5. مثال می‌زنیم: فرض کنید a=۳ و b=-۳. در این صورت a²=۹ و b²=۹، پس a²=b² است اما a≠b.
6. پس a²=b² ⇒ a=b همیشه درست نیست. این جهت فقط وقتی درست است که a و b هر دو غیرمنفی باشند یا هر دو منفی باشند (در واقع وقتی علامتشان یکسان باشد).

پاسخ نهایی: عبارت داده شده نادرست است. درست این است: a=b ⇒ a²=b² (همیشه درست)، اما a²=b² ⇒ a=b (همیشه درست نیست).

مثال مشابه: اگر x=۵ و y=۵، آنگاه x²=۲۵ و y²=۲۵، پس هر دو جهت درست هستند. اما اگر x=۴ و y=-۴، آنگاه x²=۱۶ و y²=۱۶، پس a²=b² درست است اما a=b درست نیست.

اگر می‌خواهی بیشتر یاد بگیری: این مفهوم در مبحث توابع و روابط در ریاضیات گسسته مهم است. می‌توانی درباره «توابع یک‌به‌یک» و «شرط لازم و کافی» بیشتر مطالعه کنی. همچنین در معادلات درجه دوم، وقتی از روش جذر گرفتن استفاده می‌کنیم، باید ± را در نظر بگیریم که دقیقاً به همین دلیل است.