مسئله بهینه‌سازی مساحت مستطیل محاط در نیم‌دایره
برای حل این مسئله، فرض کنید که مستطیل در نیم‌دایره‌ای با شعاع ۴ سانتی‌متر محاط شده است. طول و عرض مستطیل را به ترتیب با ۲x و y نشان می‌دهیم.
از آنجا که مستطیل در نیم‌دایره محاط شده است، رابطه بین x و y از معادله نیم‌دایره به دست می‌آید:
بنابراین، y به صورت زیر به دست می‌آید:
مساحت مستطیل برابر است با:
برای بهینه‌سازی مساحت، مشتق A نسبت به x را برابر صفر قرار می‌دهیم:
با حل این معادله، مقدار x به دست می‌آید:
با جایگذاری این مقدار در معادله y، خواهیم داشت:
بنابراین، ابعاد مستطیل بهینه برابر است با:
- طول:
- عرض:
در نتیجه، ابعاد مستطیل به گونه‌ای است که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن را دارد.
