حل مسئله
برای حل این مسئله، فرض کنیم سه عدد طبیعی $x$، $y$ و $z$ هستند به طوری که $x + y + z = 36$ و $x \times y \times z = 66$.
از آنجا که $66 = 2 \times 3 \times 11$، می‌توانیم نتیجه بگیریم که $x$، $y$ و $z$ باید این سه عدد اول باشند زیرا حاصل ضرب آنها 66 است.
حال، بررسی می‌کنیم که آیا مجموع این اعداد برابر 36 است یا خیر: $2 + 3 + 11 = 16$ که کمتر از 36 است.
برای رسیدن به مجموع 36، باید یکی از اعداد را بزرگتر کنیم. از آنجا که $x + y + z = 36$ و $x + y = 16$ (با فرض $z = 11$)، پس $z + (x + y) = 36$ و در نتیجه $x + y = 36 - z$. اگر $z = 11$ باشد، آنگاه $x + y = 25$. با توجه به اینکه $x$ و $y$ باید 2 و 3 باشند (به ترتیب یا برعکس)، نمی‌توانیم به مجموع 25 برسیم.
با کمی دقت بیشتر، متوجه می‌شویم که اگر دو تا از اعداد 1 باشند، عدد سوم می‌تواند بزرگتر باشد. پس اگر $x = 1$، $y = 1$ و $z = ?$ باشد، آنگاه $1 + 1 + z = 36$ و در نتیجه $z = 34$. در این صورت، $x \times y \times z = 1 \times 1 \times 34 = 34$ که با حاصل ضرب مورد نظر ما مطابقت ندارد.
با برگشت به شرایط مسئله، اگر $x = 2$، $y = 3$ و $z = 31$ باشد، آنگاه $x + y + z = 2 + 3 + 31 = 36$ و $x \times y \times z = 2 \times 3 \times 11 = 66$. پس اعداد ما می‌توانند 2، 3 و 31 باشند.
بنابراین بزرگترین عدد 31 است.
