راهنمایی کوتاه: این مجموع را نمیتوان به صورت ساده محاسبه کرد، اما میتوانیم دربارهی رفتار آن صحبت کنیم.
گامبهگام:
- ۱) این عبارت مجموع ۱۹۰ کسر است: از ۱/۱۱ تا ۱/۲۰۰.
- ۲) این کسرها به ترتیب کوچک میشوند: ۱/۱۱ بزرگترین و ۱/۲۰۰ کوچکترین است.
- ۳) این مجموع یک سری هارمونیک جزئی است (بدون چند جمله اول).
- ۴) برای تخمین میتوان از انتگرال استفاده کرد: ∫(۱/𝑥)𝑑𝑥 از ۱۱ تا ۲۰۰ ≈ ln(۲۰۰) - ln(۱۱).
- ۵) ln(۲۰۰) ≈ ۵.۲۹۸، ln(۱۱) ≈ ۲.۳۹۸، تفاضل ≈ ۲.۹.
- ۶) مقدار واقعی کمی بیشتر از این تخمین است (حدود ۳.۰ تا ۳.۱).
پاسخ نهایی: مجموع ۱/۱۱ + ۱/۱۲ + … + ۱/۲۰۰ مقداری تقریبی بین ۳.۰ تا ۳.۱ دارد. این مقدار دقیق را نمیتوان به صورت کسر ساده یا عدد اعشاری مختصر نوشت، اما میتوان با روشهای عددی آن را محاسبه کرد.
مثال مشابه: مجموع ۱/۱ + ۱/۲ + ۱/۳ + ۱/۴ + ۱/۵ = ۱۳۷/۶۰ ≈ ۲.۲۸۳. هرچه بازه بزرگتر شود، رشد مجموع کندتر میشود.
اگر میخواهی بیشتر یاد بگیری: سری هارمونیک (۱/۱ + ۱/۲ + ۱/۳ + …) به بینهایت میل میکند، اما خیلی آهسته. مجموعهای جزئی آن را میتوان با تقریب انتگرال تخمین زد.
