راهنمایی کوتاه: برای اثبات این قضیه، باید دو طرف آن را جداگانه اثبات کنیم.
- اگر نقطهای روی عمود منصف باشد، فاصلهاش تا دو سر پاره خط برابر است.
- اگر فاصله نقطهای تا دو سر پاره خط برابر باشد، آن نقطه روی عمود منصف قرار دارد.
گامبهگام:
۱) فرض کنیم $M$ نقطهای روی عمود منصف پاره خط $AB$ است.
۲) عمود منصف را $d$ مینامیم. پس $M$ روی $d$ قرار دارد.
۳) طبق تعریف عمود منصف، هر نقطه روی آن به دو سر پاره خط فاصله یکسان دارد. پس $MA = MB$.
۴) حالا فرض کنیم $MA = MB$. باید نشان دهیم $M$ روی عمود منصف $AB$ است.
۵) اگر $M$ روی $AB$ نباشد، مثلث $AMB$ متساویالساقین است و ارتفاع آن عمود منصف $AB$ است.
پاسخ نهایی: نقطه $M$ روی عمود منصف $AB$ قرار دارد اگر و فقط اگر $MA = MB$.
مثال مشابه: این قضیه را میتوان برای پاره خطهای مختلف بررسی کرد.
