راهنمایی کوتاه: این سوالات دربارهٔ منطق ریاضی، عکس قضیه، نقیض گزاره و مثال نقض هستند.
گامبهگام:
- ۱) سوال اول: قضیه اصلی: «اگر دو دایره مساحت برابر داشته باشند، آنگاه محیطهای برابر نیز دارند.»
عکس قضیه: جای شرط و نتیجه را عوض میکنیم: «اگر دو دایره محیط برابر داشته باشند، آنگاه مساحتهای برابر نیز دارند.»
قضیه دوشرطی: «دو دایره مساحت برابر دارند اگر و تنها اگر محیط برابر داشته باشند.» - ۲) سوال دوم: گزاره: «موازیالاضلاعی وجود دارد که مستطیل نیست.»
نقیض آن: «هر موازیالاضلاعی مستطیل است.» (نقیض «وجود دارد» میشود «برای هر» و نقیض «نیست» میشود «است») - ۳) سوال سوم: گزاره: «مثلثی با دو زاویه قائمه وجود ندارد.»
نقیض آن: «مثلثی با دو زاویه قائمه وجود دارد.» (نقیض «وجود ندارد» میشود «وجود دارد») - ۴) سوال چهارم: حکم کلی: «هر دو مثلث که مساحت برابر داشته باشند، همنهشت هستند.»
برای رد آن، یک مثال نقض کافی است: دو مثلث با قاعده و ارتفاع متفاوت اما مساحت برابر (مثلاً مثلثی با قاعده ۴ و ارتفاع ۳ و مثلثی با قاعده ۶ و ارتفاع ۲، هر دو مساحت ۶ دارند) که الزاماً همنهشت نیستند. - ۵) سوال پنجم: قضیه اصلی: «اگر یک چهارضلعی لوزی باشد، قطرهایش عمود منصف یکدیگرند.»
عکس قضیه: «اگر در یک چهارضلعی قطرها عمود منصف یکدیگر باشند، آن چهارضلعی لوزی است.»
قضیه دوشرطی: «یک چهارضلعی لوزی است اگر و تنها اگر قطرهایش عمود منصف یکدیگر باشند.»
پاسخ نهایی:
- عکس: اگر دو دایره محیط برابر داشته باشند، آنگاه مساحتهای برابر نیز دارند. دوشرطی: دو دایره مساحت برابر دارند اگر و تنها اگر محیط برابر داشته باشند.
- نقیض: هر موازیالاضلاعی مستطیل است.
- نقیض: مثلثی با دو زاویه قائمه وجود دارد.
- مثال نقض: دو مثلث قائمالزاویه با ابعاد (۳،۴،۵) و (۲،۶،√۴۰) که مساحت برابر (۶) دارند اما همنهشت نیستند.
- عکس: اگر در یک چهارضلعی قطرها عمود منصف یکدیگر باشند، آن چهارضلعی لوزی است. دوشرطی: یک چهارضلعی لوزی است اگر و تنها اگر قطرهایش عمود منصف یکدیگر باشند.
مثال مشابه: گزاره «اگر عددی زوج باشد، بر ۲ بخشپذیر است.» عکس آن «اگر عددی بر ۲ بخشپذیر باشد، زوج است.» و دوشرطی «عدد زوج است اگر و تنها اگر بر ۲ بخشپذیر باشد.»
اگر میخواهی بیشتر یاد بگیری: سعی کن برای قضایای هندسی دیگر (مثل مربع، متوازیالاضلاع) هم عکس و نقیض را بنویسی. تمرین با گزارههای «وجود دارد» و «برای هر» در منطق ریاضی خیلی کمک میکند.
